Логнормальний розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностей Логнорма́льний розпо́діл у теорії ймовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. Якщо випадкова величина має логнормальний розподіл, то її логарифм має нормальний розподіл.

Визначення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задається щільністю ймовірності, що має вид:

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(\ln x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$,

де $\sigma >0,\mu \in ℝ$. Тоді кажуть, що $X$ має логнормальний розподіл з параметрами $\mu$ і $\sigma$. Пишуть: $X\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mu ,{\sigma }^2)$.

Моменти

Формула для $k$-го моменту логнормальної випадкової величини $X$ має вид:

$𝔼\left[X^k\right]=e^{k\mu +\frac{k^2{\sigma }^2}{2}},k\in \mathbb{N},$

відкіля зокрема :

$𝔼[X]=e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}$,

$\mathrm{D}[X]=(e^{{\sigma }^2}-1)e^{2\mu +{\sigma }^2}$.

Властивості логнормального розподілу

• Якщо $X_1,\dots ,X_n$ — незалежні логнормальні випадкові величини, такі що $X_i\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mu ,{\sigma }_i^2)$, то їхній добуток також логнормальний:

$Y=\prod _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(n\mu ,\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2)$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо $X\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mu ,{\sigma }^2)$, то

$Y=\ln X\sim \mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$.

Моделювання логнормальних випадкових величин

Для моделювання звичайно використовується зв'язок з нормальним розподілом. Тому, достатньо згенерувати нормально розподілену випадкову величину, наприклад, використовуючи перетворення Бокса-Мюллера, і обчислити її експоненту.

Моделювання

Моделювання значень випадкової величини з логнормальним розподілом (з параметрами $\mu$ і $\sigma$) проводиться за формулою $X=e^Y$, де $Y$ має нормальний розподіл з тими ж параметрами.

Застосування логнормального розподілу

У статистиці так званий логнормальний розподіл застосовується в тому випадку, коли починає змінюватися ціна активу в майбутньому, а це — випадковий процес, що в принципі повинний описуватися нормальним розподілом. Водночас для цілей імовірнісної оцінки вартості активу в теорії використовують не нормальний, а логнормальний розподіл. Це обумовлено наступним:

• По-перше, нормальний розподіл симетричний щодо її центральної осі і може мати як додатні, так і від'ємні значення; однак ціна активу не може бути від'ємною.
• По-друге, нормальний розподіл говорить про рівну імовірність для відхилення значень змінної чи нагору вниз. У той же час на практиці, наприклад, має місце інфляція, що натискає на ціни убік їхнього підвищення, а також сама тимчасова сутність грошей: вартість грошей сьогодні менше, ніж вартість грошей учора, але більше, ніж вартість грошей завтра.

Крива логнормального розподілу завжди додатня і має правобічну скошеність (асиметрично), тобто вона вказує на велику імовірність відхилення ціни вгору. Тому якщо, допустимо, ціна активу становить 50 дол., то крива логнормального розподілу свідчить про те, що пут-опціон з ціною виконання 45 дол. повинний коштувати менше колл-опціону із ціною виконання 55 дол., у той час як відповідно до нормального розподілу вони повинні були б мати однакову ціну. Хоча не можна сподіватися, що приведені вихідні припущення в точності виконуються у всіх реальних ринкових ситуаціях, проте прийнято вважати, що логнормальний розподіл є достатньо добрим як перше наближення у випадку активів, якими торгують на конкурентних ринках аукціонного типу для довгих розглянутих періодів.

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко