Аксіоматика теорії ймовірностей

Аксіоматика Колмогорова — загальноприйнятий аксіоматичний підхід до математичного опису події та імовірності, запропонований Андрієм Миколайовичем Колмогоровим в 1929, остаточно в 1933. Він додав теорії ймовірностей формальний стиль, прийнятий у сучасній математиці.

Історія аксіоматизації теорії імовірностей

Проблема аксиоматизації теорії імовірностей включена Д. Гільбертом у формулювання його 6-ї проблеми «Математичний виклад основ фізики»:

До Колмогорова спроби аксіоматизувати теорію ймовірностей починали Больман, С. Бернштейн, Р. Мізес, а також А. Ломницкий на базі ідей Е. Бореля про зв'язок понять імовірності й міри.

А. Н. Колмогоров під впливом ідей теорії множин та теорії міри сформулював просту систему аксіом (яка, щоправда, не є єдиною), що дозволила описати вже існуючі на той час класичні розділи теорії імовірностей, дати поштовх розвитку її нових розділів, наприклад, теорії випадкових процесів, і стала загальноприйнятою в сучасній теорії імовірностей.

Аксіоми теорії ймовірностей

Елементарна теорія ймовірностей — та частина теорії ймовірностей, в якій доводиться мати справу з ймовірностями лише скінченного числа подій. Теорія ймовірностей, як математична дисципліна, може і повинна бути аксіоматизована абсолютно в тому ж сенсі, як геометрія або алгебра. Це означає, що, після того як дані назви досліджуваних об'єктів та їх основні відношення, а також аксіоми, яким ці відношення повинні підкорюватися, весь подальший виклад повинен ґрунтуватися виключно лише на цих аксіомах, не спираючись на звичайне конкретне значення цих об'єктів і їх відношень. Аксиоматизація теорії ймовірностей може бути проведена різними способами як щодо вибору аксіом, так і щодо вибору основних понять і основних співвідношень. Якщо мати на меті можливу простоту як самої системи аксіом, так і побудови на ній подальшої теорії, то представляється найдоцільнішим аксіоматизовані поняття випадкової події та його ймовірності.

Формування

Нехай $\mathrm{\Omega }$  — множина елементів $\omega$, які називаються елементарними подіями, а $ℱ$ — множина підмножин $\mathrm{\Omega }$, що називаються випадковими подіями (або просто — подіями), а $\mathrm{\Omega }$ — простір елементарних подій.

• Аксіома I (алгебра подій). $ℱ$ є алгеброю подій.
• Аксіома II (існування ймовірності подій). Кожній події $x$ з $ℱ$ поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число $𝐏(x)$, яке називається ймовірністю події $x$.
• Аксіома III (нормування ймовірності). $𝐏(\mathrm{\Omega })=1$.
• Аксіома IV (адитивність ймовірності). Якщо події $x$ і $y$ не перетинаються, то: $𝐏(x+y)=𝐏(x)+𝐏(y)$.

Сукупність об'єктів $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝐏)$, що задовольняє аксіомам I-IV, називається ймовірнісним простором (у Колмогорова: поле ймовірностей).

Зауваження

Система аксіом I—IV не суперечить сама собі. Це показує наступний приклад: $\mathrm{\Omega }$ складається з єдиного елемента $\omega$, $ℱ$ — з $\mathrm{\Omega }$ і безлічі неможливих подій (порожньої множини) $\varnothing$, при цьому $𝐏(\mathrm{\Omega })=1,𝐏(\varnothing )=0$. Однак ця система аксіом не є повною: в різних питаннях теорії ймовірностей розглядаються різні ймовірнісні простори.

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Колмогоров.Основные понятия теории вероятностей
• Шаблон:Cite book