Послідовний статистичний критерій

Послідовний статистичний критерій - послідовна статистична процедура, що використовується для перевірки статистичних гіпотез в послідовному аналізі.

Нехай спостереженню в статистичному експерименті доступна випадкова величина $X$ з невідомим (повністю або частково) розподілом $\mathbb{P}$ (формально, в математичній нотації, $X:\mathrm{\Omega }\mapsto ℝ$, де імовірнісний простір $\mathrm{\Omega }$ забезпечений $\sigma$-алгеброю подій, $ℱ$, і $X$ вимірна відносно борелевої $\sigma$-алгебри).

Нехай перевіряється нульова гіпотеза $H_0:\mathbb{P}\in {𝒫}_0$ проти альтернативи $H_1:\mathbb{P}\in {𝒫}_1$.

При кожному етапі $i\ge 1$ статистичного експерименту, незалежно від інших етапів, спостерігається випадкова величина $X_i$ — копія $X$, до тих пір поки $i\le \nu$, де $\nu$ — деяких (випадковий) момент зупинки. Послідовний статистичний критерій - це пара $(\nu ,\delta )$, де $\delta$ — будь-яка функція від $(X_1,\dots ,X_{\nu })$, що приймає значення 0 або 1 (рішення, відповідно, на користь нульової $H_0$ або альтернативної $H_1$ гіпотези).

Цьому визначенню може бути наданий формальний сенс за допомогою поняття моменту зупинки відносно послідовності $\sigma$-алгебр ${ℱ}_n=\sigma (X_1,X_2,\dots X_n)$, що породжені випадковими величинами $X_1,X_2,\dots X_n$, $n=1,2,\dots$. Тоді вирішуюча функція $\delta$ повинна бути вимірною відносно $\sigma$-алгебри ${ℱ}_{\nu }$ подій, що передують моменту $\nu$: ${ℱ}_{\nu }=\{A\in ℱ:A\cap \{\nu \le n\}\in {ℱ}_n\}$.

Функція потужності критерію $(\nu ,\delta )$ в "точці" $\mathbb{P}$ визначається як $\beta (\mathbb{P};\nu ,\delta )=\mathbb{P}(\delta =1)$. Якщо $\mathbb{P}\in {𝒫}_0$, то $\beta (\mathbb{P};\nu ,\delta )$ називається ймовірністю похибки першого роду (ймовірність відкинути нульову гіпотезу, коли вона вірна). Якщо $\mathbb{P}\in {𝒫}_1$, то $\mathbb{P}(\delta =0)$ називається ймовірністю похибки другого роду (ймовірність приняти нульову гіпотезу, коли вона не вірна)

Рандомізовані послідовні критерії

Рандомізований послідовний критерій перевірки гіпотез може бути визначений як пара $(\psi ,\varphi )$, де $\psi =({\psi }_1,{\psi }_2,\dots ,)$, $\varphi =({\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,)$, і ${\psi }_n={\psi }_n(X_1,\dots ,X_n)$, ${\varphi }_n={\varphi }_n(X_1,\dots ,X_n)$ - (вимірні) функції, що приймають значення між 0 і 1, $n=1,2,\dots$. На кожному етапі $n\ge 1$ (якщо експеримент до нього дійшов) ${\psi }_n(X_1,\dots ,X_n)$ інтерпретується як ймовірність зупинитися на цьому етапі, без проведення подальших спостережень, а ${\varphi }_n(X_1,\dots ,X_n)$ - як ймовірність відкинути нульову гіпотезу, якщо зупинка на цьому етапі відбулася.

$\psi =({\psi }_1,{\psi }_2,\dots ,)$ називається рандомізованим правилом зупинки, а $\varphi =({\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,)$ - рандомізованим правилом ухвалення рішення.

Якщо всі ${\psi }_n$ набувають тільки значень 0 (продовження спостережень) і 1 (зупинка), то правило зупинки $\psi$ визначає (нерандомізований) момент зупинки $\nu =\min \{n:{\psi }_n(X_1,\dots ,X_n)=1\}$. Аналогічно, якщо всі ${\varphi }_n$ набувають тільки значень 0 (прийняття нульової гіпотези) і 1 (відкидання нульової гіпотези), то правило ухвалення рішення $\varphi$ визначає (нерандомізовану) вирішуючу функцію: $\delta ={\varphi }_n$, якщо ${\psi }_n=1$.

Функція потужності критерію $(\psi ,\varphi )$ в "точці" $\mathbb{P}$ визначається як $\beta (\mathbb{P};\psi ,\varphi )=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}𝔼(1-{\psi }_1)\dots (1-{\psi }_{i-1}){\psi }_i{\varphi }_i$, де $𝔼$ - математичне сподівання відносно $\mathbb{P}$. Якщо $\mathbb{P}\in {𝒫}_0$, то $\beta (\mathbb{P};\psi ,\varphi )$ - ймовірність похибки першого роду. Якщо $\mathbb{P}\in {𝒫}_1$, то ймовірність похибки другого роду рівна $\mathbb{P}(\nu <\mathrm{\infty })-\beta (\mathbb{P};\psi ,\varphi )$, де $\mathbb{P}(\nu <\mathrm{\infty })=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}𝔼(1-{\psi }_1)\dots (1-{\psi }_{i-1}){\psi }_i$. Відповідно, середній об'єм вибірки при використанні правила зупинки $\psi$ визначається як $E\nu =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}i𝔼(1-{\psi }_1)\dots (1-{\psi }_{i-1}){\psi }_i$, якщо $\mathbb{P}(\nu <\mathrm{\infty })=1$ (в іншому випадку $E\nu =\mathrm{\infty }$).

Посилання

• Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.Шаблон:Ref-ru
• Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.Шаблон:Ref-en

Див. також

• Статистичний критерій
• Перевірка статистичних гіпотез