Спіраль Ферма

Спіраль Ферма

Спіраль Ферма (також знана як параболічна спіраль) — це крива, що визначається рівнянням

$r=\pm a{\theta }^{1/2}$

в полярних координатах. Загальніший вигляд рівняння: r ² = a ²θ. Спіраль Ферма є одним з видів спіралі Архімеда.

Втім відмінність від звичайної спіралі Архімеда полягає також у тому, що відстань між сусідніми витками у першій спіралі завжди однакова, а у спіралі Ферма ця закономірність не зберігається.

У Декартовій системі координат рівняння Спіралі Ферма можна записати так:

$\frac{y}{x}=tan(\frac{x^2+y^2}{a^2})$

Ця формула може бути доведена завдяки зв'язку між полярною системою координат та декартовою:

$x=a\surd \phi cos\phi$; $y=a\surd \phi sin\phi$; $\phi \ge 0$; $r^2=x^2+y^2$, а також враховуючи, що $\phi =\frac{r^2}{a^2}$

Спіраль Ферма і квітка соняшнику

Розміщення простих квіток складної квітки соняшнику згідно з моделлю Фогеля (центральне зображення). Два інших зображення показують розміщення при трохи інших значеннях кута.

У квітці соняшника група спіралей залягає числами Фібоначчі, оскільки дивергенція (кут послідовності в організації спіралей) прямує до золотого відношення. Форма спіралей залежить від росту послідовних елементів. В зрілій квітці (коли всі елементи мають однаковий розмір) спіралі насіння є спіралями Ферма. Це тому, що спіралі Ферма перетинають рівня кільця в однакових положеннях. Повну модель запропонував Фогель 1979 року. Формула має такий вигляд:

$r=c\sqrt{n},$

$\theta =n\times 137.508^{\circ },$

де θ — це кут, r — радіус відстані від центру, n — індекс простої квітки і c — це параметр. Кут 137,508° це золотий кут, який є апроксимованим відношенням чисел Фібоначчі.

Див. також

• Логарифмічна спіраль
• Гіперболічна спіраль
• Спіраль Архімеда

Література

• Шаблон:Cite book

Посилання

• Online exploration using JSXGraph (JavaScript) Шаблон:Webarchive