Сферична система координат

Точка $P$ має три декартових і три сферичних координати

Сферичними координатами називають систему координат для відображення геометричних властивостей фігури в трьох вимірах за допомогою задання трьох координат $(r,\theta ,\phi )$, де $r$ — відстань до початку координат, а $\theta$ і $\phi$ — зенітний і азимутальний кути відповідно.

Поняття зеніту і азимуту

Поняття зеніт і азимут широко використовуються в астрономії. Взагалі зеніт — це напрямок вертикального підйому над довільно вибраним пунктом (точкою спостереження), що належить так званої фундаментальної площини. Як фундаментальна площина в астрономії може бути обрана площина, в якій лежить екватор, або площина, в якій лежить горизонт, або площина екліптики тощо, що породжує різні системи небесних координат. Азимут — кут між довільно вибраним променем фундаментальної площини з початком в точці спостереження та іншим променем цій площині, які мають загальний початок з першим.

На наведеному малюнку сферичної системи координат, фундаментальна площина — це площина xy. Зеніт — якась віддалена точка, що лежить на осі Z і видима з початку координат. Азимут відраховується від осі X до проєкції радіус-вектора r на площину xy. Це пояснює назви кутів, як і те, що сферична система координат може служити узагальненням (нехай хоча б і наближеним) безлічі різновидів систем небесних координат.

Визначення

Три координати $(r,\theta ,\phi )$ визначені як:

• $r⩾0$ — відстань від початку координат до заданої точки $P$.
• $0⩽\theta ⩽180^{\circ }$ — кут між віссю $Z$ і відрізком, що з'єднує початок системи координат і точку $P$.
• $0⩽\phi ⩽360^{\circ }$ — кут між віссю $X$ і проєкцією відрізку, що з'єднує початок координат з точкою $P$, на площині $XY$.

Кут $\theta$ називається зенітний, або полярний, або нормальний, англ. colatitude, а кут $\phi$ — азимутальний. Кути $\theta$ і $\phi$ не мають значення при $r=0$, а $\phi$ не має значення при $\sin (\theta )=0$ (тобто при $\theta =0$ або $\theta =180^{\circ }$).

Залежно чи незалежно від стандарту (ISO 31-11), існує і така угода щодо позначень, коли замість зенітного кута $\theta$, використовується кут між проєкцією радіус-вектора точки r на площину xy і самим радіус-вектором r, що дорівнює $90^{\circ }$ — $\theta$. Він називається кутом підйому і може бути позначений тією ж буквою $\theta$. В цьому випадку він буде змінюватись в межах $-90^{\circ }⩽\theta ⩽90^{\circ }$.

Тоді кути $\theta$ і $\phi$ не мають значення при $r=0$, так само як і в першому випадку, а $\phi$ не має значення при $\sin (\theta )=0$, так само як і в попередньому випадку, (але вже при $\theta =-90^{\circ }$ або $\theta =90^{\circ }$).

Перехід до інших систем координат

• Декартова система координат
  • Від сферичних до декартових:

    $\{\begin{array}{c}x=r\cos \phi \sin \theta ,\\ y=r\sin \phi \sin \theta ,\\ z=r\cos \theta .\end{array}$

  • Від декартових до сферичних:

    $\{\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \theta =\arccos \left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right),\\ \phi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{y}{x}\right).\end{array}$

    • (тут, звісно, потрібне уточнення для значень $\phi$ поза першим квадрантом; те ж саме для всіх формул з арктангенсом тут і нижче; однак, заміна на відповідну формулу з арккосинусом знімає це питання по відношення до координати $\theta$).
  • Модуль якобіана перетворення від сферичних до декартових координат:

    $|J|=r^2\sin \theta .$

• Циліндрична система координат
  • Від сферичних до циліндричних:

    $\{\begin{array}{c}\rho =r\sin \theta ,\\ \phi =\phi ,\\ z=r\cos \theta .\end{array}$

  • Від циліндричних до сферичних:

    $\{\begin{array}{c}r=\sqrt{{\rho }^2+z^2},\\ \theta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\rho }{z}\right),\\ \phi =\phi .\end{array}$

  • Модуль якобіану перетворення від сферичних до циліндричних координат:

    $|J|=r.$

Диференціальні характеристики

Сферичні координати є ортогональними, тому метричний тензор набуває діагональної форми:

$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right),g^{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{r^2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\end{array}\right)$

• $\det (g_{ij})=r^4{\sin }^2\theta .$
• Квадрат диференціала довжини дуги:

$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2.$

• Коефіцієнти Ляме:

$H_r=1,H_{\theta }=r,H_{\phi }=r\sin \theta .$

• Символи Крістофеля $\{r,\theta ,\phi \}$:

${\mathrm{\Gamma }}_{22}^1=-r,{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1=-r{\sin }^2\theta ,$

${\mathrm{\Gamma }}_{21}^2={\mathrm{\Gamma }}_{12}^2={\mathrm{\Gamma }}_{13}^3={\mathrm{\Gamma }}_{31}^3=\frac{1}{r},$

${\mathrm{\Gamma }}_{33}^2=-\cos \theta \sin \theta ,{\mathrm{\Gamma }}_{23}^3={\mathrm{\Gamma }}_{32}^3=-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\theta .$

Інші дорівнюють нулю.

Див. також

• Системи небесних координат
• Полярна система координат
• Циліндрична система координат
• Декартова система координат

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Посилання

• Шаблон:MathWorld