Градуйована алгебра

Шаблон:Алгебричні структури В математиці градуйованою алгеброю (кільцем, модулем) називається алгебра (кільце, модуль) із спеціальною структурою — градуюванням.

Градуйовані кільця

Градуйоване кільце A — кільце, що є прямою сумою комутативних адитивних груп:

$A=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨁}{A}_n=A_0\oplus A_1\oplus A_2\oplus \cdots$

і виконується властивість:

$x\in A_s,y\in A_r⟹xy\in A_{s+r}$

тобто

$A_s{A}_r\subseteq A_{s+r}.$

Елементи $A_n$ називаються однорідними елементами порядку n. Ідеал $𝔞$ ⊂ A називається однорідним, якщо для кожного елемента a ∈ $𝔞$, всі однорідні складові a також належать $𝔞.$

Якщо I — однорідний ідеал в A, тоді фактор-кільце $A/I$ також є градуйованим кільцем, що має розклад:

$A/I=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨁}(A_n+I)/I.$

Градуйовані модулі

Подібним чином визначається поняття градуйованого модуля. Модуль M над градуйованим кільцем A називається градуйованим якщо:

$M=\underset{i\in \mathbb{N}}{⨁}{M}_i,$

і

$A_i{M}_j\subseteq M_{i+j}.$

Градуйовані алгебри

Алгебра A над кільцем R називається градуйованою алгеброю, якщо вона є градуйованою як кільце. У випадку якщо кільце R є також градуйованим, то також вимагається виконання умов:

1. $A_i{R}_j\subset A_{i+j}$, і
2. $R_i{A}_j\subset A_{i+j}$.

G - градуйована алгебра

Нехай A — алгебра над кільцем k, G — моноїд.

Алгебра A називається G-градуйованою, якщо A розкладається в пряму суму k-модулів $A_g$ по всіх елементах g з G, причому множення в алгебрі узгоджене з множенням в моноїді:

$A_f{A}_g\subset A_{fg}$

Якщо ненульовий елемент a належить $A_g$, то він називається однорідним степеня g.

Подібним чином можна визначити і G - градуйовані кільця і модулі.

Конструкції з градуюваннями

• Якщо A — G-градуйована алгебра, а $\psi :G\to H$ — гомоморфізм напівгруп, тоді A наділяється H-градуюванням за правилом:

$A_h={\oplus }_{g\in G}\{A_g|\psi (g)=h\}$

• На будь-якій алгебрі A можна ввести тривіальне градуювання будь-якою напівгрупою G з одиницею e, вважаючи $A_e=A$.

• Над полем $ℂ$ будь-яка алгебра A градуюється групою G характерів максимального тора своєї групи алгебраїчних автоморфізмів:

$G=(T(Au{t}_{k-alg}(A)){)}^{\vee }:A_g=\{a\in A|\varphi (a)=g(\varphi )a,$ для всякого $\varphi \in T(Au{t}_{k-alg}(A))\}$.

Приклади

• Кільце многочленів від однієї або декількох змінних.
• Кільце когомологій
• Алгебра матриць порядку n градуюється групою ${\mathbb{Z}}_{n-1}$
• Напівгрупова алгебра $K\left[G\right]$ є G-градуйованою алгеброю.

Література

• C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982