Дробово-лінійне перетворення

Дробово-лінійне перетворення або дробово-лінійне відображення — це відображення комплексного простору на себе, яке здійснюється дробово-лінійними функціями.

Формальне визначення

Дробово-лінійне перетворення — це невироджене відображення комплексного простору на себе

${ℂ}^n\to {ℂ}^n:z\to w,$ $z=(z_1,z_2,\dots ,z_n),$

$w=(w_1,w_2,\dots ,w_n)=(L_1(z),L_2(z),\dots ,L_n(z)),$

здійснюване дробово-лінійними функціями

$L_k(z)=\frac{a_{1k}{z}_1+a_{2k}{z}_2+\cdots +a_{nk}{z}_n+b_k}{c_{1k}{z}_1+c_{2k}{z}_2+\cdots +c_{nk}{z}_n+d_k},$ $k=1,2,\dots ,n,$

де $z_1,z_2,\dots ,z_n$ — комплексні змінні, $a_{1k},a_{2k},\dots ,a_{nk},$$c_{1k},c_{2k},\dots ,c_{nk},$$b_k,d_k$ — комплексні коефіцієнти,

$|c_{1k}|+|c_{2k}|+\dots +|c_{nk}|+|d_k|>0$Шаблон:Sfn.

У разі комплексної площини ${ℂ}^1=ℂ$ отримуємо відмінне від константи відображення вигляду

$ℂ\to ℂ:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d},$

де $ad-bc\ne 0$Шаблон:Sfn.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:H