Незалежні однаково розподілені випадкові величини

У теорії імовірності, статистиці а також в економетриці, про набір випадкових величин $X_1,X_2,...,X_n,...$ кажуть, що вони незалежні і однаково-розподілені, якщо кожна з них має ту саму функцію розподілу (наприклад $F$), що і всі інші, і до того ж всі $X_i$ незалежні в сукупності. Вираз «незалежні і однаково розподілені» часто скорочують абревіатурою i.i.d. (від Шаблон:Lang-en), а україномовній літературі як — «н.о.р.». Інколи, коли відомий розподіл випадкових величин, його також зазначають, наприклад $X_i$ ~ н.о.р. $𝒩$, означає, що маємо справу з незалежними і однаково-розподіленими випадковими величинами (в.в.), кожна з яких є розподілена за нормальним законом розподілу. Якщо відомі параметри даних випадкових величин (математичне сподівання, дисперсія), то їх також зазначають, наприклад $X_i$ ~ н.о.р. $(\mu ,{\sigma }^2)$, позначає послідовність в.в. кожна з математичним сподіванням $\mu$ і дисперсією ${\sigma }^2$. Якщо відомі і розподіл і параметри, то їх також зазначають.

Застосування

Припущення про те, що випадкові величини незалежні і однаково-розподілені широко використовується в теорії імовірності і статистиці, бо дозволяє сильно спростити теоретичні викладки і довести цікаві результати. Одна з ключових теорем теорії імовірності — центральна гранична теорема — стверджує, що якщо $X_1,X_2,...,X_n,...$ — послідовність незалежних однаково-розподілених в.в., то, при $n\to \mathrm{\infty }$, розподіл їх середнього арифметичного — який також є випадковою величиною — збігається до стандартної нормальної випадкової величини.

У статистиці зазвичай припускають, що статистична вибірка є н.о.р. реалізацією деякої випадкової величини (така вибірка називається простою).

В економетриці є дуже важливим припущення про незалежність і однаково-розподіленість даних, які використовують для оцінки невідомих параметрів. Зокрема таке припущення вирішальне в теорії Узагальненого методу моментів.

Див. також

• Випадкова величина
• Незалежність (теорія ймовірностей)

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко