Сигма-скінченна міра

Сигма-скінченна міра в функціональному аналізі — міра, така що довільна вимірна множина може бути представлена у вигляді зліченного об'єднання вимірних множин скінченної міри.

Визначення

Неай $(X,ℛ,\mu )$ - простір з мірою, де $X$ — деяка множина, $ℛ$ — задане на ній кільце підмножин, $\mu$ — міра визначена на кільці. Міра $\mu$ називається σ-скінченною, якщо для довільної множини $A\in ℛ$ існує зліченна сім'я вимірних множин $\{A_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subset ℱ$, така що $\mu (A_i)<\mathrm{\infty },i\in \mathbb{N}$ і

$A=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$. Якщо міра визначена на деякій алгебрі $ℱ$ підмножин множини $X$, то необхідною і достатньою умовою σ-скінченності є виконання поданих вище умов для єдиної множини $X$

Приклади

• Будь-яка скінченна, зокрема ймовірнісна міра скінченна.

• Міра Лебега $m$ на $ℝ$ σ-скінченна, оскільки

$ℝ=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}[-i,i],m([-i,i])=2i<\mathrm{\infty },i=1,2,\dots$.

• Зліченна міра $\mu$ на $ℝ$, тобто така, що $\mu (\{x\})=1,\mathrm{\forall }x\in ℝ$ не є σ-скінченною, оскільки зліченне об'єднання будь-яких множин скінченної міри в цьому випадку буде зліченним, тоді як весь простір незліченний.

Властивості

σ-скінченні міри мають багато властивостей не характерних для інших видів мір, тому вони часто виступають припущеннями при формулюванні теорем теорії мри та інтегралу, зокрема теореми Радона-Нікодима, теореми Фубіні та ін. σ-скінченність також є достатньою умовою єдиності продовження міри заданої на кільці до міри на породженому цим кільцем σ-кільці (теорема Каратеодорі).

Література

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953