Фільтр (порядок)

Два фільтри, позначені синім та зеленим кольором,
та ультрафільтр в який вони входять, позначено голубим.

Фільтр — в теорії порядку, це підмножина $F$ частково впорядкованої множини $(P,\le ),$ яка є верхньою множиною спрямованою вниз.

Фільтр — поняття двоїсте до ідеалу.

Визначення

Підмножина F частково впорядкованої множини (P,≤) є фільтром, якщо виконуються умови:

1. $\mathrm{\forall }x\in F,y\in P:x\le y\Rightarrow y\in F$ (F є верхньою множиною)
2. $\mathrm{\forall }x,y\in F:\mathrm{\exists }z\in F:(z\le x)\wedge (z\le y)$. (F є спрямованою вниз множиною)

Спочатку поняття фільтру виникло для решіток. У випадку решіток, вищенаведене означення еквівалентне наступному твердженню:

Підмножина F решітки (P,≤) є фільтром, тоді і тільки тоді, коли це верхня множина, замкнена щодо застосування операції інфімуму скінченну кількість разів.

Тобто, для будь-яких x, y з F, x ∧ y також належить F.

Поняття двоїсте до фільтру, тобто, те що ми отримаємо, замінивши для фільтру всі ≤ на обернені і ∧ на ∨, це — ідеал.

Найменший фільтр, що містить елемент p називається головним фільтром породженим цим елементом. Формально $\{x\in P:p\le x\},$ позначається $\uparrow p.$

Простий фільтр — фільтр, доповненням якого є ідеал.

Максимальний фільтр чи ультрафільтр — фільтр, для якого не існує більшого фільтра.

Фільтри на множині

Для довільної множини, її булеан є частково-впорядкованою множиною за включенням, таким чином можна вводити поняття фільтра та ідеала для множини.

База фільтра

Нехай $𝔉$ - фільтр на множині $X$. Сімейство підмножин $𝔅\subset 𝔉$ називається базою (базисом) фільтра $𝔉$, якщо кожний елемент фільтра $𝔉$ містить деякий елемент бази $𝔅$, тобто для кожного $Y\in 𝔉$ існує $B\in 𝔅$ таке, що $B\subset Y$. При цьому фільтр $𝔉$ збігається з сімейством усіх можливих надмножин множин з $𝔅$. Зокрема, фільтри, які мають спільну базу, збігаються. Кажуть також, що база $𝔅$ породжує фільтр $𝔉$

Дві бази $𝔅$ та ${𝔅}^{\prime }$ називаються еквівалентними, якщо будь-який елемент $B\in 𝔅$ містить у собі деякий елемент $B^{\prime }\in {𝔅}^{\prime }$, і навпаки, будь-який елемент $B^{\prime }\in {𝔅}^{\prime }$ містить у собі деякий елемент $B\in 𝔅$

Еквівалентні бази породжують один і той самий фільтр. Серед усіх баз, еквівалентних даній базі $𝔅$ існує максимальна за включенням база, а саме, породжений цією базою фільтр $𝔉$. Таким чином, між класами еквівалентних баз і фільтрами існує природна бієкція.

Порівняння фільтрів

Нехай на множині $X$ задані два фільтра $𝔉$ і ${𝔉}^{\prime }$. Кажуть, що фільтр ${𝔉}^{\prime }$ мажорує фільтр $𝔉$ (${𝔉}^{\prime }$ сильніший $𝔉$, ${𝔉}^{\prime }$ тонший $𝔉$), якщо ${𝔉}^{\prime }\supset 𝔉$. У цьому випадку також говорять, що фільтр $𝔉$ мажорується фільтром ${𝔉}^{\prime }$ ($𝔉$ слабший ${𝔉}^{\prime }$, $𝔉$ грубіший ${𝔉}^{\prime }$).

Говорять, що база ${𝔅}^{\prime }$ сильніше бази $𝔅$, і записують ${𝔅}^{\prime }⩾𝔅$, якщо кожний елемент $B\in 𝔅$ містить у собі деякий елемент $B^{\prime }\in {𝔅}^{\prime }$. База ${𝔅}^{\prime }$ сильніша бази $𝔅$ тоді і тільки тоді, коли фільтр ${𝔉}^{\prime }$, породжений базою ${𝔅}^{\prime }$, сильніший фільтра $𝔉$, породженого базою $𝔅$.

Бази $𝔅$ та ${𝔅}^{\prime }$ еквівалентні тоді і тільки тоді, коли одночасно ${𝔅}^{\prime }⩾𝔅$ та $𝔅⩾{𝔅}^{\prime }$.

Фільтри у топологічних просторах

Нехай $(X,𝒯)$ -- топологічний простір і $𝔉$ --- фільтр на множині $X$. Точка $a\in X$ називається границею фільтра $𝔉$, якщо кожний окіл $V(a)$ точки $a$ належить фільтру $𝔉$. Позначення: $\lim 𝔉=a$. Для фільтра $𝔉$, породженого базою $𝔅$, рівність $\lim 𝔉=a$ виконується тоді і тільки тоді, коли для кожного околу $V(a)$ повністю вміщає деяку множину з $𝔅$.

У гаусдорфовому топологічному просторі фільтр може мати не більше однієї границі.

Точка $a\in X$ називається граничною точкою (точкою дотику, частковою границею) фільтра $𝔉$, якщо $a$ належить замиканню кожної множини з $𝔉$, тобто $a\in \bar{Y}$ для всіх $Y\in 𝔉$. Рівносильно, для кожного околу $V(a)$ точки $a$ і для кожної $Y\in 𝔉$ виконується $V(a)\cap Y\ne \varnothing$. Кожна гранична точка ультрафільтра є його границею.

В компактному топологічному просторі кожен фільтр має граничну точку, а кожен ультрафільтр має границю.

Дивись також

• Ідеал (порядок)
• Ультрафільтр

Джерела

• Шаблон:Биркгоф.Теория решёток