Гомотопія

Гомотопія (з Шаблон:Lang-grc Шаблон:Transl "сам, подібний" та Шаблон:Lang Шаблон:Transl "місце") — в математиці поняття алгебричної топології, що формалізує поняття неперервної деформації одного об'єкта в інший. За допомогою гомотопії визначаються гомотопічні групи, що є важливими інваріантами в алгебричній топології.

Формальне визначення

Нехай $X$ та $Y$ — топологічні простори і f та g — два неперервних відображення з простору $X$ в простір $Y$. Тоді відображення f називається гомотопним відображенню g, якщо існує неперервне відображення $H:X\times [0,1]\to Y$ таке, що $f(x)=H(x,0)$ і $g(x)=H(x,1)$ для x ∈ X. Дане неперервне відображення називається гомотопією.

Пов'язані визначення

Гомотопічна еквівалентність бублика і чашки

• Гомотопічний інваріант — це характеристика простору, яка зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів. Тобто, якщо два простори гомотопно еквіваленті, то вони мають однакову характеристику. Наприклад: зв'язність, фундаментальна група, ейлерова характеристика.
• Якщо на деякій підмножині $A\subset X,F(t,a)=f(a)$ для всіх $t$ при $a\in A$, то $F$ називається гомотопією відносно $A$, а $f$ і $g$ гомотопними відносно $A$.
• Ізотопія — гомотопія топологічного простору $X$ по топологічному простору $Y,$ тобто $f_t:X\to Y,t\in [0,1]$, в якій при будь-кому $t$ відображення $f_t$ є гомеоморфізмом $X$ на $f(X)\subset Y$.

Гомотопічна еквівалентність

• Гомотопічна еквівалентність топологічних просторів $X$ і $Y$ — пара неперервних відображень $f:X\to Y$ і $g:Y\to X$ така, що $f\circ g\sim {\mathrm{id}}_Y$ і $g\circ f\sim {\mathrm{id}}_X$, тут $\sim$ позначає гомотопічну еквівалентність відображень. В цьому випадку говорять, що $X$ і $Y$ гомотопно еквівалентні, або $X$ з $Y$ мають один гомотопний тип.

Гомотопічна група

Гомотопічна група простору $\mathrm{\Psi }{\pi }_n(\mathrm{\Psi },{\psi }_0)$ є групою гомотопічних класів неперервних відображень $f:S^n\to \mathrm{\Psi },$ переводячи відзначену точку сфери у точку ${\psi }_0,$ із декотрою операцією. Сферу $S^n$ можна неперервно й бієктивно відобразити у $I^n,$ де $I=[0,1].$ Таким чином, гомотопічну групу можна визначити як групу гомотопічних класів неперервних відображень $g:I^n\to \mathrm{\Psi },$ які переводять границю у відзначену точку $g(\partial I^n)={\psi }_0.$ Операцію таких відображень можна визначити наступним чином:

$(g_1*g_2)(t_1,...,t_n)=\{\begin{array}{cc}{g}_1(2t_1,t_2,...,t_n);& t_1\in [0;0,5],\\ g_2(2t_1-1,t_2,...,t_n);& t_1\in [0,5;1],\end{array}$

Властивості

• Гомотопія задає відношення еквівалентності на множині неперервних відображень $X\to Y$

Рефлексивність. Якщо $f:X\to Y$ — деяке неперервне відображення, тоді функція $H:X\times I\to Y$ визначена $H(x,t)=f(x)$ буде гомотопією між f і f.

Симетричність. Нехай відображення $f:X\to Y$ гомотопне відображенню $g:X\to Y$ і $H:X\times I\to Y$ — відповідна гомотопія. Тоді g є гомотопним f з гомотопією $H^{\text{'}}(x,t)=H(x,1-t)$.

Транзитивність. Нехай відображення $f:X\to Y$ гомотопне відображенню $g:X\to Y$ і $H:X\times I\to Y$ — відповідна гомотопія. Нехай також відображення $g:X\to Y$ гомотопне відображенню $h:X\to Y$ і $F:X\times I\to Y$ — відповідна гомотопія. Тоді Тоді f є гомотопним h з гомотопією:

$G(x,t)=\{\begin{array}{cc}H(x,2t);& t\in [0;0,5],\\ H(x,2t-1);& t\in (0,5;1],\end{array}$

• Усі відображення $h_t(x)=H(x,t)$ є неперервними.
• Якщо $f,f^{\prime }:X\to Y,g:Y\to B,h:A\to X$ — неперервні відображення, і $H:X\times I\to Y$ — гомотопія між $f$ і $f^{\prime }$, то $g\circ H\circ (h\times I)$ є гомотопією між $g\circ f\circ h$ і $g\circ f^{\prime }\circ h$.

Приклади

• Якщо $Y={ℝ}^m$, то функції $f$ і $g$ є завжди є гомотопними. Гомотопія визначається: $H(x,t)=f(x)+t[g(x)-f(x)].$
• Множини $X=[0,1],Y=(0,1)$ є еквівалентними гомотопічно, але не гомеоморфними.
• Одиничне коло ${𝒮}^1$ гомотопно еквівалентне простору ${ℝ}^2\setminus \{0\}$.
• $[M,N{]}_{pt}\cong \underrightarrow{\lim }[N_{k,f},M_f{]}_{pt},$ де $N_{k,f}$ - апроксимуючі скінченні моделі CW-комплесу $N.$ Тут ми маємо відображення $[N_{k,f},M_f{]}_{pt}\to [N,M_f{]}_{pt}\cong [N,M_f{]}_{pt}\mathrm{\forall }k.$ Отримуємо бієкцію $\phi :\underrightarrow{\lim }[N_{k,f},M_f{]}_{pt}\to [N,M_f].$
• Нехай $U,G$ - гомотопічні простори із відзначеною точкою, де $G$ - скінченне й у ньому виконується $T_0.$ Нехай відображення $f,g:U\to G$ є неперервними та $\mathrm{\forall }u\in U$ виконується $f(x)\in \overline{g(x)}.$ Тоді вони є гомотопними. Дійсно, можна побудувати гомотопію $H:U\times I\to G$ із наступними властивостями:

$H(u,0)=f(x)$

$H(u,t)=v(u),t\in (0,1].$

Щоб показати неперервність відображеження $H,$ потрібно показати, що $H^{-1}(\overline{p})$ є замкненим для будь-якої точки $p\in f(U)\cup v(U).$ Якщо $v(u)\in \overline{p}$ , то й $f(u)\in \overline{p}.$ Це дає $v^{-1}(\overline{p})\times [0,1]\subseteq f^{-1}(\overline{p})\times \{0\}\cup v^{-1}(\overline{p})\times (0,1].$ Тоді $H^{-1}(\overline{p})=f^{-1}(\overline{p})\times \{0\}\cup v^{-1}(\overline{p})\times (0,1]=f^{-1}(\overline{p})\times \{0\}\cup v^{-1}(\overline{p})\times [0,1].$ А відтак він є замкненим як об'єднання замкнених множин.

Посилання

• С. Максименко, Інститут математики НАН України, Шаблон:YouTube.

Література

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971