Напівнорма

Напівнорма або переднорма — узагальнення поняття норми; на відміну від норми напівнорма може бути рівною нулю на ненульових елементах простору.

Визначення

Напівнормою називається функція $p:L\to ℝ$, у лінійному просторі $L$ над полем дійсних або комплексних чисел, що задовольняє наступним умовам:

1. Абсолютна однорідність: $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$ для будь-якого скаляра $\alpha$
2. Нерівність трикутника: $p(x+y)⩽p(x)+p(y)$ для всіх $x,y\in L$

Простір $(L,p)$ називається напівнормованим простором.

Властивості

• $p(0)=0$

Ця властивість одержується з першої умови визначення і рівності $0\cdot 0=0$, тут перший нуль належить полю дійсних або комплексних чисел, а другий і третій — простору $L.$

$p(0)=p(0\cdot 0)=|0|\cdot p(0)=0$

• $p(x)=p(-x)$

Ця властивість також є наслідком першої умови при $\alpha =-1$.

• $p(x)⩾0$

Якщо припустити існування такого $x^{*}$, що $p(x^{*})<0$, то з першої умови визначення одержується, що і $p(-x^{*})<0$. Скориставшись другою умовою $p(0)=p(x^{*}-x^{*})⩽p(x^{*})+p(-x^{*})<0$ одержуємо суперечність з першою властивістю.

Література

• Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.