Союзна матриця

Сою́зною (приє́днаною) до матриці A, називається матриця створена з алгебраїчних доповнень для відповідних елементів первинної матриці, і транспонована по тому.

$A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{j1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{j2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1i}& A_{2i}& \cdots & A_{ji}\end{array}\right)$

де $A_{ij}$ — алгебраїчне доповнення елемента $a_{ij}$ даної матриці $A$.

Позначення

Союзну матрицю до матриці $A$ позначають: $\tilde{A},{\tilde{A}}^T,A^{*}$

Приклад

Нехай $3\times 3$ матриця

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$.

Її союзна матриця має вигляд:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 8& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-3& 6& -3\\ 6& -12& 6\\ -3& 6& -3\end{array}\right)$

Властивості

• $A{A}^{*}=A^{*}A=\det (A)I$

  Як наслідок $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}{A}^{*}$.

• $I^{*}=I$
• $(AB{)}^{*}=B^{*}{A}^{*}$

для всіх n×n матриць A і B.

• $(A^T{)}^{*}=(A^{*}{)}^T$.

• $\det \left(A^{*}\right)=\det (A{)}^{n-1}$.

• Якщо p(t) = det(A − t I) — характеристичний многочлен матриці A і q(t) = (p(0) − p(t))/t, тоді

$A^{*}=q(A)=-(p_{1}I+p_{2}A+p_3{A}^2+\cdots +p_n{A}^{n-1})$,

де $p_j$ — коефіцієнти p(t),

$p(t)=p_0+p_{1}t+p_2{t}^2+\cdots p_n{t}^n.$

Див. також

• Невироджена матриця
• Обернена матриця

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Назієв Е.Х. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: Навч. посібник / Е.Х. Назієв, В.М. Владіміров, О.А. Миронець.- К.: Либідь, 1997.–152с. ISBN 5-325-00272-4.
• Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Дмитрий Письменный.– 5-е изд.– М.: Айрис-пресс, 2007.–608 с.: ил. –(Высшее образование). ISBN 978-5-8112-2374-9