Теореми Веєрштрасса в банахових просторах

Теоре́ми Веєрштра́сса в Бана́хових про́сторах

Нехай $\mu$ — метрика в метричному просторі $B$, тобто $\mu :B\times B\to R$:

1. для будь-яких $x,y:\mu (x,y)\ge 0,\mu (x,y)=0⟺x=y$.

2. $\mu (x,y)=\mu (y,x)$.

3. $\mu (x,z)+\mu (z,y)\ge \mu (x,y)$.

Означення 1. Функціонал $f$ називається $\mu$ — напівнеперервним знизу, якщо $\mu (x_n,x)\to 0⟹\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)\ge f(x)$.

Означення 2. Множина $X$ з метричного простору $B$ називається $\mu$ — компактною, якщо з довільної послідовності точок $\{x_n\}\subset X$ можна обрати підпослідовність збіжну до $x\in X$.

Теорема 1. Якщо функція $f$ є визначеною, скінченною, $\mu$ — напівнеперервною знизу на $\mu$ — компактній множині $X$, то $f$ досягає на $X$ свого мінімального значення. Тобто існує $x\in X:f(x)=\underset{y\in X}{\inf }f(x)$.

Нехай тепер $E$ — банахів простір.

Означення 3. Послідовність $\{x_n\}\subset E$ називається слабко збіжною до елемента $x\in E$, якщо для будь-якого лінійного неперервного функціонала $F$ $F(x_n)\to F(x)$.

Означення 4. Функціонал $f$ називається слабконапівнеперервним знизу, якщо з того що $x_n\to x$ випливає, що $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)\ge f(x)$.

Означення 5. Множина $X$ з банахового простору $E$ називається слабкокомпактною, якщо з довільної послідовності точок $\{x_n\}\subset X$ можна обрати підпослідовність, що слабко збігається до деякої $x\in X$.

Теорема 2. Якщо функція $f$ визначена, скінченна, слабконапівнеперервна знизу на слабкокомпактній множині $X$, то $f$ досягає на $X$ свого мінімального значення.

Див. також

• Друга теорема Веєрштрасса

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель