Універсальна множина

Універсальна множина (універсум)  — в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X. Універсальна множина єдина.

Формально: U — універсальна множина ⇔ ∀X: X∩U=X.

Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.

Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Расселла). Існування такої множини всіх множин забороняється аксіоматичною теорією множин.

В алгебрі множин універсальна множина є одиничним елементом.

Також для будь-якої множини X справедливо: X∪U=U.

Властивості універсальної множини

• Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.

  $\mathrm{\forall }a:a\in U$

• Зокрема, універсальна множина містить як один з елементів сама себе.

  $U\in U$

• Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.

  $\mathrm{\forall }A:A\subseteq U$

• Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.

  $U\subseteq U$

• Об'єднання універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.

  $\mathrm{\forall }A:U\cup A=U$

• Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.

  $U\cup U=U$

• Перетин універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.

  $\mathrm{\forall }A:U\cap A=A$

• Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.

  $U\cap U=U$

• Виключення універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює порожній множині.

  $\mathrm{\forall }A:A\setminus U=\varnothing$

• Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.

  $U\setminus U=\varnothing$

• Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює доповненню цієї множини.

  $\mathrm{\forall }A:U\setminus A=\bar{A}$

• Доповненням універсальної множини є порожня множина.

  $\bar{U}=\varnothing$

• Симетрична різниця універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.

  $\mathrm{\forall }A:U\mathrm{△}A=\bar{A}$

• Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.

  $U\mathrm{△}U=\varnothing$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин
• Парадокс Расселла
• Універсум (математика)
• Універсум фон Неймана

Джерела

• Шаблон:Хаусдорф.Теория множеств
• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств