Алгебраїчне доповнення

Нехай $A = (a_{i j})$ — квадратна матриця порядку $n$ , в якій вибрано:

Визначення

Алгебраїчне доповнення мінора $M_{j_{1}, \dots, j_{k}}^{i_{1}, \dots, i_{k}}$ визначається так:

A_{j_{1}, \dots, j_{k}}^{i_{1}, \dots, i_{k}} = (- 1)^{p + q} {\overline{M}}_{j_{1}, \dots, j_{k}}^{i_{1}, \dots, i_{k}}

де

p = i_{1} + \dots + i_{k}, q = j_{1} + \dots + j_{k},

{\overline{M}}_{j_{1}, \dots, j_{k}}^{i_{1}, \dots, i_{k}}

Алгебраїчним доповненням елемента $a_{i j}$ називають мінор цього елемента, взятий зі знаком $(- 1)^{i + j},$ тобто

A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j} .

Мінор $M_{23}$ квадратної матриці $A$ — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:

A = (\begin{matrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ - 1 & 9 & 11 \end{matrix}), M_{23} = | \begin{matrix} 1 & 4 & ◻ \\ ◻ & ◻ & ◻ \\ - 1 & 9 & ◻ \end{matrix} |

⟶

| \begin{matrix} 1 & 4 \\ - 1 & 9 \end{matrix} | = (9 - (- 4)) = 13 .

| \begin{matrix} 2 & 3 & - 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ - 3 & 1 & 4 \end{matrix} |

Розв'язок:

Алгебраїчні доповнення до елементів а₂₁ та а₃₃ позначимо А₂₁ та А₃₃, відповідно.

Знаходження мінорів:

Файл:Находження мінорів.jpg

Підставимо ці значення мінорів у відповідні рівності (4), одержимо шукані алгебраїчні доповнення

А₂₁=(-1)²⁺¹ М₂₁= -13

А₃₃=(-1)³⁺³ М₃₃= 5