Еліпсоїд

Еліпсоїд обертання

Еліпсоїд

Еліпсоїд — замкнута центральна поверхня другого порядку.

Загальний опис

Еліпсоїд має центр симетрії та три осі, які називаються осями еліпсоїда. Точки перетину координатних осей з еліпсоїдом називаються його вершинами. Перетини еліпсоїда площинами є еліпсами (зокрема, завжди можна вказати кругові перетини еліпсоїда). В декартовій системі координат рівняння еліпсоїда має вигляд:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

де a, b, c — додатні дійсні числа, що називаються півосями еліпсоїда. Оскільки сума трьох додатних доданків лівої частини рівняння дорівнює одиниці, то кожен з них (при дійсних значеннях координат) не може перевищувати одиниці:

$\frac{x^2}{a^2}\le 1,\frac{y^2}{b^2}\le 1,\frac{z^2}{c^2}\le 1$

Звідси випливає, що координати точок еліпсоїда задовольняють нерівність:

$-a\le x\le a,-b\le y\le b,-c\le z\le c$

Отже, еліпсоїд - скінченна поверхня, яка цілком лежить всередині паралелепіпеда, розміри якого $2a,2b,2c$

Рівняння еліпсоїда

Декартові координати

Узагальнена форма

Довільно орієнтований еліпсоїд, із центром у точці v, визначається розв'язками x рівняння

$(𝐱\mathbf{-}𝐯{)}^{\mathrm{T}}A(𝐱\mathbf{-}𝐯)=1,$

де A це додатноозначена матриця і x, v це вектори.

Власні вектори A визначають головні осі еліпсоїда, а власні значення A це обернені квадрати півосей: $a^{-2}$, $b^{-2}$ і $c^{-2}$. Для інтуїтивного розуміння цієї формули достатньо уявити матрицю $A$ як $Q\mathrm{\Lambda }{Q}^T$.

По суті, еліпсоїди це одиничні кулі піддані афінному перетворенню. Щоб побачити це згадаємо важливий факт щодо додатноозначеної матриці $A$, існує матриця $B$ така, що $A=B{B}^T$. Позначимо еліпсоїд як $E(a,A)$. Розглянемо бієктивне афінне перетворення $T:x\to y=B^T(x-a)$. Воно відображає еліпсоїд в одиничну кулю: $E(a,A)\to y:y^{T}y\le 1=E(0,I)$.

Сферичні координати

У сферичній системі координат будь-яку точку едіпсоїда можна подати як

$\begin{array}{cc}x& =a\sin \theta \cos \phi \\ y& =b\sin \theta \sin \phi \\ z& =c\cos \theta \end{array}(0⩽\phi <2\pi ,0⩽\theta ⩽\pi )$

Циліндричні координати

$\frac{r^2{\cos }^2(\theta )}{a^2}+\frac{r^2{\sin }^2(\theta )}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Формули

Об'єм	$V=\frac{4}{3}\pi abc$

Див. також

• Земний еліпсоїд
• Референц-еліпсоїд
• Еліпсоїд обертання
• Метод еліпсоїдів

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:УСЕ-4
• Шаблон:Клепко ВМ