Розклад Холецького

Розклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді $A=L{L}^T,$ де $L$ — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі.

Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний.

Для матриць з комплексними елементами: якщо $A$ — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад $A=L{L}^{*}.$

Розклад названий в честь французького математика Шаблон:Iw (1875-1918).

Алгоритм

Елементи матриці $L$ можна обчислити, починаючи з верхнього лівого кута, за формулами:

$L_{ii}=\sqrt{A_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}{L}_{ik}^2}$

$L_{ij}=\frac{1}{L_{jj}}(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}{L}_{ik}{L}_{jk})$, якщо $j<i$.

Вираз під коренем завжди додатній, якщо $A$ — дійсна додатновизначена матриця.

Для комплекснозначних ермітових матриць використовуються формули:

$L_{ii}=\sqrt{A_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}{L}_{ik}{L}_{i,k}^{*}}$

$L_{ij}=\frac{1}{L_{jj}}(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}{L}_{ik}{L}_{jk}^{*})$, якщо $j<i$.

LDL-розклад

Пов'язаним із розкладом Холецького є LDL-розклад:

$A=LD{L}^T$

де $L$ — одинична нижня трикутна матриця; $D$ — діагональна матриця.

$D_j=A_{jj}-\sum _{k=1}^{j-1}{L}_{jk}^2{D}_k$

$L_{ij}=\frac{1}{D_j}(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}{L}_{ik}{L}_{jk}{D}_k)$, якщо $j<i$.

Застосування

Розклад Холецького може застосовуватись для розв'язку системи лінійних рівнянь $Ax=b$ з симетричною додатноозначеною матрицею. Такі матриці часто виникають, наприклад, при використанні методу найменших квадратів чи числовому розв'язуванні диференціальних рівнянь.

Виконавши розклад $A=L{L}^T$, розв'язок $x$ отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР: $Ly=b$ та $L^{T}x=y$. Такий спосіб розв'язку називають методом квадратних коренів. Порівняно з загальнішими методами: метод Гауса чи LU-розклад матриці, він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць