Теорема Лакса — Мільграма

Теорема Лакса — Мільграма — твердження у функціональному аналізі, що має широке застосування у теорії рівнянь в частинних похідних та числовому аналізі, зокрема при теоретичному обґрунтуванні методу скінченних елементів.

Твердження

Нехай:

• $\mathscr{H}$ є гільбертовим простором зі скалярним добутком $(\cdot ,\cdot )$ і асоційованою нормою $\Vert \cdot \Vert ;$
• $a(\cdot ,\cdot )$ є білінійною формою, що є

• неперервною в $\mathscr{H}\times \mathscr{H}:$ $$\mathrm{\exists }M>0:\mathrm{\forall }(u,v)\in {\mathscr{H}}^2|a(u,v)|\le M\cdot \Vert u\Vert \cdot \Vert v\Vert ;$$
• коерцивною в $\mathscr{H}$ (іноді використовується термін $\mathscr{H}$-еліптичність): $$\mathrm{\exists }m>0:\mathrm{\forall }u\in \mathscr{H}a(u,u)\ge m\cdot \Vert u{\Vert }^2;$$

• $\ell$ є неперервною лінійною формою у $\mathscr{H}.$

Тоді існує єдиний елемент $x\in \mathscr{H}$ такий що рівність $a(x,y)=\ell (y)$ виконується для всіх $y\in \mathscr{H}:$ $$\mathrm{\exists }!x\in \mathscr{H}:\mathrm{\forall }y\in \mathscr{H}a(x,y)=\ell (y).$$ причому $\Vert x\Vert \le \frac{1}{m}\cdot \Vert \ell {\Vert }_{\star }$.

Доведення

Для довільного $x\in \mathscr{H}$ відображення $y\mapsto a(x,y)$ — обмежений лінійний функціонал на $\mathscr{H}.$.

Тоді, за теоремою Ріса, існує єдиний $z$ з $\mathscr{H}$ такий, що $a(x,y)=(z,y)$. Будемо писати $z=Ax.$

$A$ — обмежений лінійний оператор. Справді, лінійність: $$\begin{array}{cc}(A({\lambda }_1\cdot x_1+{\lambda }_2\cdot x_2),y)& =a({\lambda }_1\cdot x_1+{\lambda }_2\cdot x_2,y)=\\ & ={\lambda }_1\cdot a(x_1,y)+{\lambda }_2\cdot a(x_2,y)=\\ & ={\lambda }_1\cdot (A{x}_1,y)+{\lambda }_2\cdot (A{x}_2,y)=\\ & =({\lambda }_1\cdot A{x}_1+{\lambda }_2\cdot A{x}_2,y),\end{array}$$ і обмеженість: $$\Vert Ax\Vert =\frac{\Vert Ax{\Vert }^2}{\Vert Ax\Vert }=\frac{(Ax,Ax)}{\Vert Ax\Vert }=\frac{a(x,Ax)}{\Vert Ax\Vert }\le \frac{M\cdot \Vert x\Vert \cdot \Vert Ax\Vert }{\Vert Ax\Vert }=M\cdot \Vert x\Vert .$$

Із умови коерцивності випливає, що: $$\Vert x\Vert =\frac{m\cdot \Vert x{\Vert }^2}{m\cdot \Vert x\Vert }\le \frac{a(x,x)}{m\cdot \Vert x\Vert }=\frac{(Ax,x)}{m\cdot \Vert x\Vert }\le \frac{\Vert Ax\Vert \cdot \Vert x\Vert }{m\cdot \Vert x\Vert }=\frac{1}{m}\cdot \Vert Ax\Vert .$$

На основі цієї нерівності і лінійності випливає: $$\Vert Ax-Ay\Vert =\Vert A(x-y)\Vert \ge m\cdot \Vert x-y\Vert ,$$ зокрема $Ax\ne Ay$ при $x\ne y.$ Відповідно $A$ є ін'єктивним відображенням. Також із цієї нерівності випливає, що образ оператора $A$ є замкнутим. Справді, якщо y належить замиканню образу оператора, то існує послідовність $x_n\in \mathscr{H}$ для якої $y=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$ у нормі гільбертового простору. Тоді $A{x}_n$ є фундаментальною послідовністю і оскільки $\Vert A{x}_k-A{x}_n\Vert \ge m\cdot \Vert x_k-y_n\Vert ,$ то $x_n$ теж є фундаментальною послідовністю. Із повноти гільбертового простору випливає, що $x_n$ збігається до деякого $x\in \mathscr{H}$ і тоді $y=Ax,$ тобто $y\in \mathscr{H}$.

Ба більше, $A$ — сюр'єкція, бо інакше існував би елемент $z$ з ортогонального доповнення до (замкненого) образу $A.$ Щоб знайти такий елемент потрібно взяти довільний $y\in ̸Ax$ і знайти $y_0\in Ax,$ що є найкращим наближенням до y на образі оператора A. Згідно теорії гільбертових просторів такий $y_0$ існує і єдиний, а $z=y-y_0$ є ортогональним до образу оператора A. Але тоді $$m\cdot \Vert z\Vert \le a(z,z)=(Az,z)=0,$$ протиріччя з $m>0.$

Нарешті, знову-ж таки з теореми Ріса, $$\mathrm{\forall }\ell \in {\mathscr{H}}^{*}:\mathrm{\exists }!z\in \mathscr{H}:\mathrm{\forall }y\in \mathscr{H}:\ell (y)=(z,y),$$ але, завдяки бієктивності $A$, ми можемо знайти єдиний елемент $x\in \mathscr{H}$ такий, що $Ax=z$, а тоді $$a(x,y)=(Ax,y)=(z,y)=\ell (y).$$

Також згідно теореми Ріса при цьому $\Vert \ell {\Vert }_{\star }=\Vert Ax\Vert$ і також $\Vert Ax\Vert \ge m\cdot \Vert x\Vert ,$ тому $\Vert x\Vert \le \frac{1}{m}\cdot \Vert \ell {\Vert }_{\star }$.

Див. також

• Теорема Ріса

Література

• Савула Я.Г. Числовий аналіз задач математичної фізики варіаційними методами. - Львів: видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. — 221 с. ISBN 966-613-017-3