База топології

База топології — множина $𝔅$ відкритих підмножин X така, що кожна відкрита множина $G\subset X$ є об'єднанням деяких елементів $U\subset 𝔅$. Поняття бази — одне з основних в топології. У багатьох питаннях, що стосуються відкритих множин деякого простору, досить обмежитися розглядом елементів його бази. Простір може мати багато баз, найбільшу з яких утворює множина всіх відкритих множин.

База топології однозначно визначає топологію. Тому для визначення деякої топології на просторі Х достатньо визначити деяку базу, а за відкриті множини взяти всі можливі об'єднання елементів бази. Щоб система множин $𝔅$, була базою якоїсь топології простору Х, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла дві умови:

1. Система є покриттям простору X.
   
2. Для будь-яких двох елементів B1, B2 системи $𝔅$ і будь-якої точки x з їхнього перетину знайдеться деякий елемент B3 системи $𝔅$ який містить точку х і є підмножиною перетину B1, B2.

Приклади

• Якщо X і Y — топологічні простори з базами топологій ${𝔅}_X$ і ${𝔅}_Y$, тоді топологія на декартовому добутку X×Y задається за допомогою бази

${𝔅}_{X\times Y}=\{U\times V:U\in {𝔅}_X,V\in {𝔅}_Y\}$

При цьому топологія на X × Y не залежатиме від того, які бази просторів X і Y використовуються для її завдання. Така топологія називається (стандартною) топологією декартового добутку топологічних просторів.

• Топологія простору дійсних чисел $ℝ$ задається системою всіх інтервалів (а,b), яка складає базу цієї топології. Аналогічно топологія простору ${ℝ}^n$ задається базою відкритих елементів $(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times \dots \times (a_n,b_n),$ і ця топологія, очевидно, збігається із стандартною топологією прямого добутку просторів.

• Прикладом множини відкритих множин, що не є базою може бути наприклад множина інтервалів виду (−∞, a) і (a, ∞) де a — деяке дійсне число.

Пов'язані означення

• Мінімум серед потужностей усіх баз називається вагою топологічного простору X.

• В просторі ваги $\tau$ існує усюди щільна множина потужності $⩽\tau$.
• Простори із зліченною базою називаються також просторами з другою аксіомою зліченності.

• Локальною базою простору X в точці $x\in X$ (базою точки x) називається множина $𝔅(x)$ його відкритих множин, що задовольняє властивість: для будь-якого околу O_x точки x знайдеться елемент $V\in 𝔅(x)$ такий, що $x\in V\subset O_x$.

• Простори, що мають зліченну локальну базу в кожній точці, називаються просторами з першою аксіомою зліченності.

• Нехай $𝔪,𝔫$ — деякі кардинальні числа. База $𝔅$ простору X називається $𝔪$-точковою, якщо кожна точка $x\in X$ належить не більше ніж $𝔪$ елементам сімейства $𝔅$. Зокрема, при $𝔪=1$ база називається диз'юнктивною, при скінченному $𝔪$ — точково скінченною, при $𝔪={𝒳}_0$ — точково зліченною.

Властивості

• Множина $𝔅$ відкритих в X множин є базою тоді і тільки тоді, коли вона є локальною базою кожної точки простору X $x\in X$.

Варіації і узагальнення

• Існує також двоїсте поняття замкнутої бази. Множина F підмножин топологічного простору називається замкнутою базою, якщо кожна відкрита підмножина може бути подана як перетин деяких елементів F.
• Передбаза — множина Y відкритих підмножин топологічного простору X така, що сукупність всіх множин, що є перетином скінченного числа елементів Y, утворює базу простору X.

Джерела

• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г1-2
• Шаблон:Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию
• Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.