Нерівність Чебишова

Для нерівності для наборів чисел — див. Нерівність Чебишова для сум чисел.

Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової величини із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного сподівання. Нерівність Чебишева дає кількісні характеристики цієї властивості.

Теорема

Нехай $X$ є випадковою величиною із математичним сподіванням $\eta$ і дисперсією ${\sigma }^2$. Тоді для всякого $ϵ>0$ виконується нерівність:

$P\{|X-\eta |\ge ϵ\}\le \frac{{\sigma }^2}{{ϵ}^2}$

інакше

$P\{|X-\eta |\ge k\sigma \}\le \frac{1}{k^2}$

Нам цікавий лише випадок з $k>1.$ Коли $k\le 1$ права частина $\frac{1}{k^2}\ge 1$ і нерівність стає тривіальною, бо ймовірність не перевищує 1.

Наприклад, використовуючи $k=\sqrt{2}$ показуємо, що ймовірність того., що значення лежить поза проміжком $(\mu -\sqrt{2}\sigma ,\mu +\sqrt{2}\sigma )$ не перевищує $\frac{1}{2}$.

Тому що нерівність можна застосувати до будь-яких розподілів якщо вони мають відоме середнє значення і дисперсію, нерівність зазвичай дає слабку оцінку в порівнянні з ситуацією коли відомо більше даних про розподіл.

$k$	Мін. % в $k$ стандартнихШаблон:Ns відхилень від середнього	Макс. % поза $k$ стандартнихШаблон:Ns відхилень від середнього
1	0%	100%
Шаблон:Sqrt	50%	50%
1.5	55.56%	44.44%
2	75%	25%
3	88.8889%	11.1111%
4	93.75%	6.25%
5	96%	4%
6	97.2222%	2.7778%
7	97.9592%	2.0408%
8	98.4375%	1.5625%
9	98.7654%	1.2346%
10	99%	1%

Приклад

Припустімо, що ми навмання обираємо часописну статтю зі джерела з 1000 слів на статтю в середньому, зі стандартним відхиленням у 200 слів. Ми можемо зробити висновок, що ймовірність того, що стаття містить від 600 до 1400 слів (тобто в межах k = 2 стандартних відхилень від середнього) має бути щонайменше 75%, бо згідно з нерівністю Чебишова шанс опинитись за межами цього діапазону не більший ніж Шаблон:Frac = Шаблон:Frac2}}. Але, якби ми додатково знали, що ми маємо справу з нормальним розподілом, ми могли б сказати, що існує 75% шанс того, що кількість слів між 770 і 1230 (точніше обмеження).

Точність оцінки

Як показано вище, нерівність зазвичай надає радше слабку оцінку. Однак, для довільного розподілу її неможливо покращити. Це точна оцінка для такого розподілу: для будь-якого k ≥ 1,

$X=\{\begin{array}{cc}-1,& \text{з імовірністю }\frac{1}{2k^2}\\ 0,& \text{з імовірністю }1-\frac{1}{k^2}\\ 1,& \text{з імовірністю }\frac{1}{2k^2}\end{array}$

Для цього прикладу, середнє значення μ = 0 і стандартне відхилення σ = 1/k, отже

$\mathrm{Pr}(|X-\mu |\ge k\sigma )=\mathrm{Pr}(|X|\ge 1)=\frac{1}{k^2}.$

саме для розподілів, які є лінійними перетвореннями цього прикладу, нерівність Чебишева стає рівністю.

Доведення

Шаблон:Розділ без джерел Нехай $F(x)$  - функція розподілу змінної $X$. Тоді:

$P\{|X-\eta |\ge ϵ\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-\eta -ϵ}{\int }}dF(x)+\underset{\eta +ϵ}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dF(x)=\underset{|x-\eta |\ge ϵ}{\int }dF(x)$

Звідси одержуємо,

${\sigma }^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\eta {)}^{2}dF(x)\ge \underset{|x-\eta |\ge ϵ}{\int }(x-\eta {)}^{2}dF(x)\ge {ϵ}^2\underset{|x-\eta |\ge ϵ}{\int }dF(x)$

З того, що $P\{|X-\eta |\ge ϵ\}=\underset{|x-\eta |\ge ϵ}{\int }dF(x)$ одержуємо твердження теореми.

Див. також

• Нерівність Маркова
• Нерівність Ляпунова
• Чебишов Пафнутій Львович

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко