Задання групи

Задання групи  — в математиці спосіб визначення групи за допомогою множини породжувальних елементів S, таких що кожен елемент групи може бути записаний через добуток цих елементів, і множини співвідношень породжувальних елементів R. Як правило, таке задання позначається так:

$⟨S\mid R⟩.$

Задання групи є дуже компактним і зручним способом визначення групи, проте із задання групи часто важко встановити навіть найпростіші властивості групи, зокрема чи є група скінченною, комутативною, тривіальною і т. д. Особливо часто задання груп використовується в комбінаторній і геометричній теорії груп, а також топології.

Формальне визначення

Нехай T  — деяка множина, а <S>  — вільна група над цією множиною. Нехай тепер R  — деяка множина слів над S тобто деяка підмножина <S>. Позначимо через N нормальне замикання множини R, тобто мінімальну нормальну підгрупу групи <S>, що містить всі елементи R. Визначимо тепер факторгрупу:

$⟨S\mid R⟩=⟨S⟩/N.$

Елементи множини S називаються породжувальними (генерувальними) елементами, а елементи R співвідношеннями. Якщо деяка група ізоморфна до побудованої вище групи $⟨S\mid R⟩,$ то кажуть, що ця група має задання $⟨S\mid R⟩.$ Якщо $r\in R$  — деякий елемент множини співвідношень то часто пишуть r=1. Також використовується вираз x=y де $x,y\in <S>$ і $y^{-1}x\in R.$

Властивості

• Для кожної групи існує задання

Справді нехай G деяка група. Позначимо через <G> вільну групу над множиною елементів G. Тоді згідно з властивостями вільної групи одиничне відображення з G в G єдиним чином продовжується до гомоморфізму з <G> в G. Позначимо тепер R множину елементів <G>, що входять до ядра цього гомоморфізму. Тоді <G|R> є одним із способів задання групи. Зрозуміло, що це задання є дуже надлишковим.

• Теорема Діка. Якщо $G=⟨S\mid R⟩.$, а $H=⟨S\mid R\cup R^{\text{'}}⟩.$ (тобто множини породжувальних елементів у двох груп однакові і множина співвідношень групи H містить всі співвідношення групи G і, можливо ще й інші) тоді H ізоморфна деякій факторгрупі <G>.

Справді якщо N нормальне замикання R, а N^' нормальне замикання $R\cup R^{\text{'}}$, тоді $N\subset N^{\text{'}}.$ Тоді згідно з теоремою про ізоморфізм маємо $⟨S⟩/N^{\text{'}}=(⟨S⟩/N)/(N^{\text{'}}/N),$ що й доводить твердження.

Приклади

В поданій нижче таблиці показані деякі задання груп. Для усіх груп вибрані найпростіші задання.

Група	Задання групи	Коментарі
Вільна група на множині S	$⟨S\mid \varnothing ⟩$	Група вільна бо немає співвідношень.
Cn, циклічна група порядку n	$⟨a\mid a^n⟩$
D2n, діедрична група порядку 2n	$⟨r,f\mid r^n,f^2,(rf{)}^2⟩$	r- поворот, f - симетричне відображення
D∞, безмежна діедрична група	$⟨r,f\mid f^2,(rf{)}^2⟩$
Dicn, діциклічна група	$⟨r,f\mid r^{2n}=1,r^n=f^2,fr{f}^{-1}=r^{-1}⟩$
Z × Z	$⟨x,y\mid xy=yx⟩$
Zm × Zn	$⟨x,y\mid x^m=1,y^n=1,xy=yx⟩$
Вільна абелева група S	$⟨S\mid R⟩$ де R множина всіх комутаторів елементів S
Симетрична група, Sn	породжувальні елементи: ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ співвідношення: ${{\sigma }_i}^2=1$, ${\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i\text{ if }j\ne i\pm 1$, ${\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}$	Тут ${\sigma }_i$ перестановка, що міняє місцями i -ий елемент з i+1 -им.
the braid group, Bn	породжувальні елементи: ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ співвідношення: ${\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i\text{ if }j\ne i\pm 1$, ${\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}$
Тетраедрична група, T ≅ A4	$⟨s,t\mid s^2,t^3,(st{)}^3⟩$
Октаедрична група, O ≅ S4	$⟨s,t\mid s^2,t^3,(st{)}^4⟩$
Ікосаедрична група, I ≅ A5	$⟨s,t\mid s^2,t^3,(st{)}^5⟩$
Група кватерніонів, Q	$⟨i,j\mid i^4,i^2{j}^2,iji{j}^{-1}⟩$
$S{L}_2(\mathbb{Z})$	$⟨a,b\mid aba=bab,(aba{)}^4⟩$
$G{L}_2(\mathbb{Z})$	$⟨a,b,j\mid aba=bab,(aba{)}^4,j^2,(ja{)}^2,(jb{)}^2⟩$
$PS{L}_2(\mathbb{Z})$	$⟨a,b\mid a^2,b^3⟩$	PSL2(Z) є вільним добутком циклічних груп Z2 і Z3
Група Гейзенберга	$⟨x,y,z\mid z=xy{x}^{-1}{y}^{-1},xz=zx,yz=zy⟩$
Група Баумслага — Солітера, B(m,n)	$⟨a,b\mid a^n=b{a}^m{b}^{-1}⟩$
Група Тітса	$a^2=b^3=(ab{)}^{13}=[a,b{]}^5=[a,bab{]}^4=(ababababa{b}^{-1}{)}^6=1,$

Скінченнопороджені і скінченнозадані групи

• Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжувальних елементів, то така група називається скінченнопородженою.
• Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжувальних елементів і скінченною множиною співвідношень, то така група називається скінченнозаданою.

Див. також

• Перетворення Тітце

Джерела

• Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Johnson, D. L. (1990). Presentations of Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37824-9
• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups