Теореми Силова

Шаблон:Теорія груп В теорії груп, теореми Силова стверджують про існування підгруп певного порядку, визначають їх властивості. Теореми доведені норвезьким математиком Силовом в 1872 р.

Визначення

Нехай $G$ — скінченна група, а $p$ — просте число, що ділить порядок $G$. Підгрупи порядку $p^t$ називаються $p$-підгрупами. Нехай маємо $|G|=p^{n}s$, де $s$ не ділиться на $p$. Тоді $p$-підгрупою Силова називається підгрупа $G$, що має порядок $p^n$.

Твердження теорем

Нехай $G$ — скінченна група. Тоді:

• $p$-підгрупа Силова існує.
• Будь-яка $p$-підгрупа міститься в деякій $p$-підгрупі Силова. Всі $p$-підгрупи Силова спряжені (тобто кожну можна представити в виді $gP{g}^{-1}$, де $g$ — елемент групи, а $P$ — підгрупа Силова із теореми 1).
• Кількість $p$-підгруп Силова рівне одиниці за модулем $p$ $N_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ і ділить порядок $G$.

Доведення

1. Спершу доведемо, що $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p^{k}m}{p^k})\equiv m(\mathrm{mod}p)$

Справді здійснюючи обчислення за модулем p отримуємо:

$(X+1{)}^{p^r}\equiv X^{p^r}+1^{p^r}=X^{p^r}+1(\mathrm{mod}p)$

Піднісши обі частини до степеня m маємо:

$(X+1{)}^{p^{r}m}\equiv (X^{p^r}+1{)}^m(\mathrm{mod}p)$

В лівій частині коефіцієнт біля $X^{p^r}$ рівний $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p^{k}m}{p^k}),$ а в правій m, що й доводить твердження .

Як наслідок маємо, що $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p^{k}m}{p^k})$ не ділиться на p, якщо на p не ділиться число m.

Нехай |G| = p^km, і Ω позначає множину підмножин G потужності p^k. Тоді маємо:

$|\mathrm{\Omega }|=(\genfrac{}{}{0ex}{}{p^{k}m}{p^k})\mathrm{.}$

Розглянемо дію G на множині Ω, що полягає у лівому множенні. Тоді

$|\mathrm{\Omega }|=\sum _{[o],o\in \mathrm{\Omega }}|Go|\mathrm{.}$

де сума береться по всіх орбітах множини Ω. Зрозуміло, що кількість елементів принаймні однієї з цих орбіт не ділиться на p, оскільки на p не ділиться кількість елементів множини Ω, що випливає з доведеного вище. Нехай S  — один з елементів цієї орбіти і P його стабілізатор. Тоді для величини орбіти маємо:

$[G:P]=\frac{|G|}{|P|}=\frac{p^{r}m}{|P|}$

Для того, щоб це число не ділилося на p необхідно $p^r||P|$ і як наслідок p^r ≤ |P|. З іншої сторони для будь-якого $x\in S$ маємо відображення [g ↦ gx] ' ін'єктивним відображенням P в S (дане відображення є відображенням в S, оскільки P є стабілізатором S). Відповідно |P|≤p^r і, поєднуючи дві нерівності одержимо |P|= p^r '

2. Нехай H — довільна p-підгрупа G. Розглянем її дію на множині правих класів суміжності G/P лівими зсувами, де P — p-підгрупа Силова. Кількість елементів довільної нетривіальної орбіти повинно ділитися на p. Але |G/P| не ділиться на p, відповідно у дії є нерухома точка gP. Тому $\mathrm{\forall }h\in Hhga=g{a}^{\prime },a,a^{\prime }\in P$, а значить, $h=g{a}^{\prime }{a}^{-1}{g}^{-1}\in gP{g}^{-1}$, тобто H є підгрупою деякої p-підгрупи Силова. Якщо ж H — сама є p-підгрупою Силова, то вона спряжена з P.

3. Кількість p-підгруп Силова рівна [G: N_G(P)] і, відповідно, ділить |G|. З попереднього маємо, що множина p-підгруп Силова рівна X = {gPg^-1}. Розглянемо дію P на X спряженнями. Нехай H із X — деяка нерухома точка. Тоді P і H належать нормалізатору підгрупи H і при цьому спряжені в N_G(H) як p-підгрупи Силова. Але H нормальна в своєму нормалізаторі, тому H = P и єдиною нерухомою точкою дії є P. Оскільки порядки всіх нетривіальних орбіт кратні p, одержуємо $N_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$.

Див. також

• P-група

Джерела

Українською

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Іншими мовами

• Шаблон:Винберг.Курс алгебры
• Шаблон:Курош.Теорія груп
• А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups