Метод трапецій (математика)

Функція f(x) (синій колір) апроксимується лінійною функцією (червоний колір).

В математиці, метод трапецій є методом наближеного обчислення значення визначеного інтегралу

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Ідея методу трапецій полягає в наближенні області під графіком функції $f(x)$ трапецією та обчисленні її площі. Якщо застосувати цю ідею безпосередньо до інтервалу $[a,b]$, то отримаємо

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a),(*)$

але це незадовільно через велику похибку.

Для точнішого обчислення значення інтегралу, слід попередньо розбити інтервал інтегрування $[a,b]$ на $n$ підінтервалів $[a,x_1],[x_1,x_2],\dots ,[x_{n-1},b],$ та застосувати формулу (*) до кожного із них. Таким чином, отримуємо:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\sum _{i=1}^n\underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^n\frac{f(x_i)+f(x_{i-1})}{2}\mathrm{\Delta }{x}_i,$

де $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1},x_0=a,x_n=b.$

У методі трапецій переважно застосовується розбиття інтервалу інтегрування на $n$ рівних відрізків довжиною $h=\mathrm{\Delta }x=(b-a)/n.$ Тоді попередня формула перетворюється на таку:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx (\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{i=1}^{n-1}f(x_i))h,$

і похибка, так званий залишковий член $E(f)$ не перевищує $\frac{(b-a{)}^{3}M}{12n^2},$ де $M=\max \{|f^{″}(x)|:x\in [a,b]\}$ — це максимум другої похідної функції $f(x)$ на всьому інтерваліШаблон:Fact. Відзначимо, що за збільшення числа $n$ інтервалів розбиття, залишковий член зменшується як $O(1/n^2).$

Див. також

• Метод Сімпсона
• Метод прямокутників

Література

• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр