Клас суміжності групи

В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються індексом підгрупи.

Означення

Нехай $G$ — деяка група, $H$ — її підгрупа. Множину

$gH=\{gh:h\in H\}\subseteq G$ називають лівостороннім класом суміжності по підгрупі $H$ для елемента $g\in G$,

$Hg=\{hg:h\in H\}\subseteq G$ називають правостороннім класом суміжності по підгрупі $H$ для елемента $g\in G$.

Приклад

Нехай G буде адитивною групою цілих Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} і H підгрупа mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, де m — це додатне ціле. Тоді класи суміжності H в G — це m множин mZ, mZ+1, … mZ+(m−1), де mZ+a={…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …}. Існує не більше ніж m класів суміжності, бо mZ+m=m(Z+1)=mZ. Клас суміжності mZ+a це клас рівності до a за модулем m.

Властивості

• $gH=H$ тоді і лише тоді коли $g\in H$

Справді оскільки $1\in H$ то також $g\in H.$ З іншої сторони рівняння $gx=a$ де $g,a\in H$ завжди має розв'язок $x\in H.$

• Якщо :$f\in gH$ то тоді $fH=gH$

Справді нехай $f=gh,h\in H.$ Тоді:

$fH=ghH=gH,$ де остання рівність випливає з попередньої властивості.

• Якщо: $f\notin gH,$ тоді $fH\bigcap fG=\mathrm{\varnothing }$

Припустимо $f{h}_1=g{h}_2;h_1,h_2\in H.$ Тоді:

$f_{=}g{h}_2{h}_1^{-1}$ і оскільки $h_1{h}_2^{-1}\in H,$ то також $f\in gH,$;

З попередніх властивостей бачимо, що лівосторонні класи суміжностей утворюють розбиття групи і таким чином можна задати відношення еквівалентності:

$f\sim g$ якщо $fH=gH.$

• $f\sim g⟺f^{-1}g\in H$

Справді маємо $f=gh,h\in H,$ звідки:

$1=f^{-1}gh$ і $f^{-1}g=h^{-1}\in H.$

• Еквівалентні твердження з відповідними модифікаціями справедливі і для правосторонніх класів суміжності.
• Потужності всіх правосторонніх і лівосторонніх класів суміжності рівні порядку групиH.

Дане твердження встановлюється за допомогою двох бієкцій:

• $l_g:H\to gH,h\mapsto gh$

  $p_g:H\to Hg,h\mapsto hg$

• Кількості правих і лівих класів суміжності (індекс підгрупи, позначається $|G:H|$) рівні між собою і виконується рівність:

$|G:H|=|G|/|H|$. (теорема Лагранжа).

Примітки

• Шаблон:Cite book

Див. також

• Група (алгебра)
• Нормальна підгрупа
• Теорема Лагранжа (теорія груп)

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Ленг.Алгебра