Довірчий інтервал для коваріації випадкових величин

Шаблон:Проблеми Нехай $X_1,\dots ,X_n\sim {\mathrm{N}}_{\mathrm{1}}(𝔼X)$ і $Y_1,\dots ,Y_n\sim {\mathrm{N}}_{\mathrm{2}}(𝔼Y)$ — незалежні вибірки з нормальних розподілів, де $𝔼X$ і $𝔼Y$ — відомі середні. Означемо довільне $\alpha \in [0,1]$ і побудуємо $\alpha$-довірчий інтервал для невідомої коваріації $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(𝐗,𝐘)$.

Твердження. Випадкова величина

$H=\frac{𝔼[(X-𝔼X)(Y-𝔼Y)]}{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(𝐗,𝐘)}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(𝐗,𝐘)}{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(𝐗,𝐘)}=1$

має розподіл ${\chi }^2(n)$. Нехай ${\chi }_{\alpha ,n}^2$ — $\alpha$-процентіль цього розподілу. Тоді маємо:

$\mathbb{P}({\chi }_{\frac{1-\alpha }{2},n}^2\le H\le {\chi }_{\frac{1+\alpha }{2},n}^2)=\alpha$.

Після підстановки виразу для $H$ і неважких алгебраїчних перетворень отримуємо:

$\mathbb{P}(\frac{𝔼[(X-𝔼X)(Y-𝔼Y)]}{{\chi }_{\frac{1+\alpha }{2},n}^2}\le \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(𝐗,𝐘)\le \frac{𝔼[(X-𝔼X)(Y-𝔼Y)]}{{\chi }_{\frac{1-\alpha }{2},n}^2})=\alpha$.

Див. також

• Довірчий інтервал
• Коваріація

Література

• Jana Jankov´a and Sara van de Geer (2015) Confidence intervals for high-dimensional inverse covariance estimation Electronic Journal of Statistics. Vol. 9 (2015) 1205–1229. Шаблон:DOI
• Sarkar, P., Bandyopadhyay, U. & Bhattacharya, R. On Fixed Accuracy Confidence Interval in Multivariate Normal Distribution with Order 1 Autoregressive Covariance Structure. J Stat Theory Pract 17, 13 (2023). https://doi.org/10.1007/s42519-022-00310-7
• СТАТИСТИЧНЕ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ С.132-139

Посилання

• Confidence Interval
• Covariance and Correlation