Нерівність Маркова

Нері́вність Ма́ркова у теорії ймовірності дає оцінку ймовірності того, що випадкова величина перевищить за модулем фіксовану додатну константу, в термінах її математичного сподівання. Отримувана оцінка зазвичай досить груба. Проте, вона дозволяє отримати певне уявлення про розподіл, коли він не є явно відомим.

Формулювання

В термінах теорії міри, нерівність Маркова стверджує, що для вимірного простору $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ з мірою $\mu$ заданій на ньому, вимірної узагальнено-дійснозначної функції f і t > 0, маємо

$\mu (\{x\in X:|f(x)|\ge t\})\le \frac{1}{t}\underset{X}{\int }|f|d\mu .$

У випадку коли міра простору 1 (тобто, маємо справу з ймовірносним простором), твердження нерівності можна представити: нехай випадкова величина $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ визначена на ймовірносному просторі $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, і її математичне сподівання скінченне. Тоді для a>0

$\mathbb{P}(|X|⩾a)⩽\frac{𝔼|X|}{a}$,

де $a>0$.

якщо розглянути випадкову величину $X-\text{E}(X)$, то отримаємо нерівність Чебишева:

$\text{P}(|X-\text{E}(X)|\ge a)\le \frac{\text{Var}(X)}{a^2}.$

Доведення

Мовою теорії ймовірності

З означення сподівання:

$\mathrm{E}(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$

Однак, X невід'ємна випадкова змінна тому,

$\mathrm{E}(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$

З цього отримуємо,

$\mathrm{E}(X)=\underset{0}{\overset{a}{\int }}xf(x)dx+\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx\ge \underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx\ge \underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}af(x)dx=a\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=a\mathrm{P}(X\ge a)$

Тепер легко видно, що

$\mathrm{P}(X\ge a)\le \mathrm{E}(X)/a$

Мовою теорії міри

Припустимо, що функція $f$ невід'ємна, оскільки у рівнянні з'являються лише абсолютні значення. Тепер, розглянемо дійснозначиму функцію $s$ на $X$ задану через

$s(x)=\{\begin{array}{cc}\epsilon ,& f(x)\ge \epsilon \\ 0,& f(x)<\epsilon \end{array}$

Тоді $0\le s(x)\le f(x)$. Згідно з визначенням інтеграла Лебега

$\underset{X}{\int }f(x)d\mu \ge \underset{X}{\int }s(x)d\mu =\epsilon \mu (\{x\in X:f(x)\ge \epsilon \})$

і, з того, що $\epsilon >0$, обидві сторони можна поділити на $\epsilon$, отримуючи

$\mu (\{x\in X:f(x)\ge \epsilon \})\le \frac{1}{\epsilon }\underset{X}{\int }fd\mu .$

Приклад

Хай $X⩾0$ — невід'ємна випадкова величина. Тоді, узявши $a=2\mathrm{E}(X)$, отримаємо

$\mathrm{P}(X⩾2\mathrm{E}(X))⩽\frac{1}{2}$.

Див. також

• Нерівність Чебишова
• Марков Андрій Андрійович

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко