Паралелепіпед

Паралелепі́пед (від Шаблон:Lang-el — паралельний і Шаблон:Lang-el2 — площина) — призма, основою для якої є паралелограм.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Властивості

• Всі 6 граней паралелепіпеда є паралелограмами.Шаблон:Sfn
• Протилежні грані рівні та паралельні.Шаблон:Sfn
• Діагоналі перетинаються в одній точці та діляться в ній навпіл.Шаблон:Sfn

Типи паралелепіпедів

Прямокутний паралелепіпед і його виміри a, b, c

Розрізняють декілька типів паралелепіпедів:

• Прямий паралелепіпед — паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи.Шаблон:Sfn У прямих паралелепіпедів чотири грані є прямокутниками, а основи — паралелограмами.Шаблон:Sfn Паралелепіпеди, які не є прямими, називаються похилими.
• Прямокутний паралелепіпед — прямий паралелепіпед, основою в якому є прямокутник.Шаблон:Sfn У прямокутного паралелепіпеда всі грані — прямокутники.Шаблон:Sfn Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його вимірами.Шаблон:Sfn Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.Шаблон:Sfn Моделями прямокутного паралелепіпеда може бути кімната, цеглина, сірникова коробка.
• Куб — прямокутний паралелепіпед з рівними сторонами.Шаблон:Sfn Всі шість граней куба — рівні квадрати.

Основні формули

Прямий паралелепіпед

1. Площа бічної поверхні:

   Шаблон:Math, де Шаблон:Math — периметр основи, Шаблон:Math — висота.

2. Площа повної поверхні:

   Шаблон:Math, де Шаблон:Math — площа основи.

3. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту:

   Шаблон:Math.

Прямокутний паралелепіпед

1. Площа бічної поверхні:

   Шаблон:Math, де Шаблон:Math, Шаблон:Math — сторони основи, Шаблон:Math — бічне ребро прямокутного паралелепіпеда.

2. Площа повної поверхні:

   Шаблон:Math.

3. Об'єм:

   Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar — виміри прямокутного паралелепіпеда.

4. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі Шаблон:Mvar дорівнює сумі квадратів його вимірів:Шаблон:Sfn

   Шаблон:Math.

Куб

1. Площа повної поверхні:

   Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar — сторона.

2. Об'єм:

   Шаблон:Math.

3. Діагональ:

   Шаблон:Math.

Формули векторної алгебри

Паралелепіпед, який задається трьома векторами Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math.Шаблон:BrДовжини векторних добутків Шаблон:Math і Шаблон:Math дорівнюють площам відповідних паралелограмів

Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах $𝐚=(a_1,a_2,a_3)$, $𝐛=(b_1,b_2,b_3)$ і $𝐜=(c_1,c_2,c_3)$ розраховується як модуль мішаного добутку цих векторів:

$V=|𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)|=|𝐛\cdot (𝐜\times 𝐚)|=|𝐜\cdot (𝐚\times 𝐛)|,$

або

$V=|\det \left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right]|.$

Паралелотоп

Гарольд Коксетер назвав узагальнення паралелепіпеда на вищі розмірності паралелотопом. В сучасній літературі термін "паралелепіпед" часто використовують і у вищих розмірностях .

Конкретніше, паралелотоп в n-вимірному просторі називається n-вимірний паралелотоп, або просто Шаблон:Mvar-паралелотоп (або Шаблон:Mvar-паралелепіпед). Таким чином паралелограм це 2-паралелотоп, а паралепіпед - 3-паралелотоп.

Більш загально, паралелотоп, або паралелотоп Вороного, має паралельні і конгруентні протилежні фасети. Тож 2-паралелотоп - це паралелогон що також може включати деякі гексагони, а 3-паралелотоп це Шаблон:Iw.

Діагоналі n-паралелотопа перетинаються в одній точці, і ця точка ділить їх надвоє. Інверсія в цій точці залишає n-паралелотоп незміненим.

Ребра що виходять з однієї вершини k-паралелотопа утворюють Шаблон:Iw $(v_1,\dots ,v_k)$ векторного простору, і паралелотоп можна відтворити з цих векторів їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами в межах від 0 до 1.

n-об'єм n-паралелотопа в просторі ${ℝ}^m$ де $m\ge n$ можна обчислити за допомогою визначника Грама. Як альтернатива, об'єм - це норма зовнішнього добутку векторів: $$V=\Vert v_1\wedge \cdots \wedge v_n\Vert .$$

Якщо Шаблон:Math, це дорівнює абсолютному значенню визначника Шаблон:Mvar векторів.

Див. також

• Призма
• Прямокутний паралелепіпед
• Куб

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-ru
• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-ru
• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-ru