Обернена матриця

Обернена матриця — матриця (позначається $A^{- 1}$ ), яка існує для кожної невиродженої квадратної матриці $A$ , розмірності $n \times n$ , причому:

A A^{- 1} = A^{- 1} A = I_{n}

де $I_{n}$ одинична $n \times n$ матриця.

Якщо для матриці $A$ існує $A^{- 1}$ , то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.

Властивості

$(𝐀^{- 1})^{- 1} = 𝐀$ — операція обернення є інволюцією.
$(𝐀^{T})^{- 1} = (𝐀^{- 1})^{T}$ — обернення транспонованої матриці
$(𝐀^{*})^{- 1} = (𝐀^{- 1})^{*}$ — обернення спряженої матриці
$(k 𝐀)^{- 1} = k^{- 1} 𝐀^{- 1}$ для довільного коефіцієнта $k = 0 .$
$(𝐀 𝐁)^{- 1} = 𝐁^{- 1} 𝐀^{- 1}$
$\det (𝐀^{- 1}) = \det (𝐀)^{- 1}$ — визначник оберненої матриці.
$rang (A) = n$ — ранг матриці дорівнює розміру матриці.
Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими.
Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь $A x = b$ , (b — ненульовий вектор) і $A^{- 1}$ існує, тоді $x = A^{- 1} b$ . В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім.

Знаходження оберненої матриці

Точні методи

Метод Гауса — Жордана
LU розклад матриці
$A^{- 1} = \frac{1}{\det (A)} \tilde{A}$

де

\tilde{A}

— союзна матриця.

Ітераційні методи

...

Приклади

A^{- 1} = {[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]}^{- 1} = \frac{1}{\det A} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] .

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли $a d - b c = \det A \neq 0$ .

A^{- 1} = {[\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{matrix}]}^{- 1} = \frac{1}{\det A} [\begin{matrix} e k - f h & c h - b k & b f - c e \\ f g - d k & a k - c g & c d - a f \\ d h - e g & b g - a h & a e - b d \end{matrix}] = \frac{1}{a e k + b f g + c d h - c e g - b d k - a f h} [\begin{matrix} e k - f h & c h - b k & b f - c e \\ f g - d k & a k - c g & c d - a f \\ d h - e g & b g - a h & a e - b d \end{matrix}] .

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли $a e k + b f g + c d h - c e g - b d k - a f h = \det A \neq 0$ .

Див. також

Джерела

Шаблон:Math-stub

Обернена матриця

Зміст

Властивості

Знаходження оберненої матриці

Точні методи

Ітераційні методи

Приклади

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Обернена матриця

Властивості

Знаходження оберненої матриці

Точні методи

Ітераційні методи

Приклади

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук