Поворот Ґівенса

Поворот Ґівенса — лінійне перетворення $G(i,k,\theta )$ векторного простору, що описує поворот в площині двох координатних осей.

Був запропонований в 1950 році американським математиком Воллесом Ґівенсом.

Визначення

Матриця повороту Ґівенса має вигляд

$G(i,k,\theta )=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & 0& \\ & & c& \cdots & s& & \\ & & ⋮& \ddots & ⋮& & \\ & & -s& \cdots & c& & \\ & 0& & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right]$

де $c=\cos (\theta ),s=\sin (\theta )$ стоять на перехресті i-того та k-того стовпця і рядка. Тобто:

$\begin{array}{cc}{g}_{ii}& =g_{kk}=c,\\ g_{ik}& =-g_{ki}=s.\\ \end{array}$

Властивості

• Матриця Ґівенса є частковим випадком матриці повороту.
• Коли матриця Ґівенса G(i,k,θ), домножається зліва на матрицю A, то тільки i-тий та k-тий рядки матриці A змінюються.

Приклад

Дано a та b, знайти c = cos θ та s = sin θ такі що

$\left[\begin{array}{cc}c& s\\ -s& c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\\ 0\end{array}\right].$

Не будемо шукати θ, знайдемо тільки c, s, та r:

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{a^2+b^2}\\ c& =a/r\\ s& =b/r.\end{array}$

Застосування

Застосовується для QR розкладу матриці наряду з такими методами як:

• Процес Грама — Шмідта,
• Перетворення Хаусхолдера.

Дивись також

• Поворот Якобі

Джерела

• Шаблон:Cite book