Теорема Еренфеста

Шаблон:Фізична теорія Теоре́ма Еренфе́ста (Рівняння Еренфеста) — твердження про вид рівнянь квантової механіки для середніх значень спостережуваних величин гамільтонових систем. Ці рівняння вперше отримані П. Еренфестом у 1927 році.

Для випадку операторів координати та імпульсу теорема може бути записана у наступній формі:

$m\frac{d}{dt}⟨x⟩=⟨p⟩,\frac{d}{dt}⟨p⟩=-⟨V^{\prime }(x)⟩.$

У більш загальному випадку таке ж співвідношення виконується для очікуваного середнього значення будь-якого іншого оператора в квантовій механіці та комутації цього оператора із гамільтоніаном системи

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩,$

тут A — деякий квантовомеханічний оператор (наприклад, оператор імпульсу) а $⟨A⟩$ — середнє значення відповідної фізичної величини. Теорема Еренфеста є обов'язкова в представленні Гейзенберга квантової механіки. Вона вказує на відповідність квантовомеханічних співвідношень та законів — їх класичним аналогам для середніх значень фізичних величин.

Теорема Еренфеста тісно пов'язана з теоремою Ліувіля із механіки Гамільтона, що містить дужки Пуассона замість комутатора. В загальному випадку можна сформулювати наступне правило: кожна теорема квантової механіки, що містить комутатор, може бути приведена до її класичного аналога шляхом заміни комутатора на «дужки Пуассона», помноживши їх на коефіцієнт $i\hslash$.

Виведення

Нехай деяка система знаходиться в квантовому стані $\mathrm{\Phi }$. Якщо ми знаємо похідну по часу від очікуваної величини A, тоді за визначенням будемо мати:

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{d}{dt}\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\mathrm{\Phi }d{x}^3=\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}\right)A\mathrm{\Phi }d{x}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)\mathrm{\Phi }d{x}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)d{x}^3$

$=\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}\right)A\mathrm{\Phi }d{x}^3+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)d{x}^3,$

де інтегрування проводиться по всьому просторі. Якщо використати при цьому рівняння Шредінгера, тоді знайдемо:

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=\frac{1}{i\hslash }H\mathrm{\Phi }$

та

$\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}=\frac{i}{\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{*}{H}^{*}=\frac{i}{\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{*}H.$Шаблон:Ref

Слід відзначити, що $H=H^{*}$ оскільки гамільтоніан є ермітовий. Підставляючи це у приведене вище рівняння, знаходимо

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }\int {\mathrm{\Phi }}^{*}(AH-HA)\mathrm{\Phi }d{x}^3+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩.$

Досить часто (проте не завжди) оператор A не залежить від часу, так що його похідна по часу рівна нулю і ми можемо знехтувати останнім членом.

Приклад використання

В загальному випадку для руху масивної частки в певному потенціалі, гамільтоніан системи можна подати у вигляді:

$H(x,p,t)=\frac{p^2}{2m}+V(x,t)$

де x координата частки. Якщо ми хочемо узнати моментальну зміну імпульсу p, тоді теорема Еренфеста дає:

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[p,H]⟩+⟨\frac{\partial p}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[p,V(x,t)]⟩$

оскільки p комутує із самим собою в координатному просторі так, що оператор імпульсу є $p=-i\hslash \mathrm{\nabla }$, тоді $\frac{\partial p}{\partial t}=0$. Також

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\int {\mathrm{\Phi }}^{*}V(x,t)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }d{x}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}\mathrm{\nabla }(V(x,t)\mathrm{\Phi })d{x}^3.$

Використовуючи стандартне правило диференціювання добутку, знаходимо

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=⟨-\mathrm{\nabla }V(x,t)⟩=⟨F⟩,$

що за формою збігається з другим законом Ньютона. Це є типовий приклад т.з. принципу відповідності, який стверджує, що у випадку багатьох часток другий закон Ньютона формулюється у формі очікуваної величини для руху однієї частки.

Виноски

1. Шаблон:Note Для «бра-кет» представлення

$\frac{\partial }{\partial t}⟨\varphi |x⟩=\frac{i}{\hslash }⟨\varphi |\hat{H}|x⟩=\frac{i}{\hslash }⟨\varphi |x⟩H=\frac{i}{\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{*}H$

де $\hat{H}$ оператор Гамільтона, а H є представлення гамільтоніану в координатному просторі (так само, як і у випадку для похідної вище). Іншими словами, ми використали приєднаний оператор для всього рівняння Шредінгера, котрий змінив порядок операцій H та $\mathrm{\Phi }$.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation