Теорема Гурвіца про композитні алгебри

Шаблон:Otheruses Теорема Гурвіца про композитні алгебри — теорема, що описує основні нормовані алгебри (не плутати з нормованими (банаховими) алгебрами що в функціональному аналізі).

Ця теорема сформульована німецьким математиком Адольфом Гурвіцем в 1898 році..

Визначення нормованої алгебри

Алгебра називається нормованою, якщо в ній можна ввести скалярний добуток з властивістю: $(ab,ab)=(a,a)(b,b).$

Оскільки ввівши норму $|a|=(a,a{)}^{1/2},$ отримаємо $|ab|=|a|\cdot |b|.$

Формулювання теореми

• Довільна нормована алгебра з одиницею ізоморфна одній з чотирьох алгебр: дійсних чисел, комплексних чисел, кватерніонів чи октав.

• Довільна нормована алгебра має властивість альтернативності: $(ab)b=a(bb),b(ba)=(bb)a.$

Доведення

Лема 1

В довільній нормованій алгебрі справедлива тотожність $(a_1{b}_1,a_2{b}_2)+(a_1{b}_2,a_2{b}_1)=2(a_1,a_2)(b_1,b_2).$

Лема 2

В довільній нормованій алгебрі з одиницею справедлива тотожність $(ab)\overline{b}=(b,b)a.$

Наслідком леми є формула $(ax)\overline{y}+(ay)\overline{x}=2(xy)a.$

Доведення теореми

Позначимо одиницю алгебри $𝒜$ через $\mathrm{𝟏}.$

Кожен елемент $u\in 𝒜$ можна представити єдиним чином у вигляді $u=k\mathrm{𝟏}+u^{\prime },$ де $u^{\prime }\perp \mathrm{𝟏}.$

Введемо в алгебрі операцію спряження таким чином $\overline{u}=k\mathrm{𝟏}-u^{\prime }.$

---

Нехай $𝒰$ — деяка підалгебра, що містить $\mathrm{𝟏}$ і не збігається з $𝒜.$

Тоді існує одиничний вектор $e$, що ортогональний до $𝒰.$

Покажемо що елементи виду

$u_1+u_{2}e(u_1,u_2\in 𝒰)(*)$

також утворюють підалгебру в $𝒜.$ Позначимо її $𝒰\mathcal{+}𝒰e.$

Для цього доведемо:

• Представлення довільного елемента з $𝒰\mathcal{+}𝒰e$ у вигляді (*) можливе єдиним чином.

Доведення використовує Лему 1.

• Множення елементів виду (*) задовільняє формулу $(u_1+u_{2}e)(v_1+v_{2}e)=(u_1{v}_1+\overline{v_2}{u}_2)+(v_2{u}_1+u_2\overline{v_1})e,$ яка збігається з процедурою подвоєння Келі-Діксона.

Спочатку за допомогою наслідку Леми 2 доведемо формули: $(ue)v=(u\overline{v})e,u(ve)=(vu)e,(ue)(ve)=-\overline{v}u.$

З яких легко отримати дану формулу.

Довільна підалгебра $𝒰,$ що містить $\mathrm{𝟏}$ і не збігається з $𝒜$ є асоціативною.

Доведення використовує наслідок Леми 2.

---

Отже, оскільки алгебра $𝒜$ містить одиницю, то в неї є підалгебра з елементів виду $k\mathrm{𝟏},$ що ізоморфна алгебрі дійсних чисел $ℝ$.

Якщо $ℝ$ не збігається з алгеброю $𝒜$ то розглянемо підалгебру $ℂ=ℝ+ℝe,$ що ізоморфна алгебрі комплексних чисел.

Якщо $ℂ$ не збігається з алгеброю $𝒜$ то розглянемо підалгебру $\mathbb{Q}=ℂ+ℂe^{\prime },$ що ізоморфна алгебрі кватерніонів.

Якщо $\mathbb{Q}$ не збігається з алгеброю $𝒜$ то розглянемо підалгебру $𝕆=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}{e}^{\prime \prime },$ що ізоморфна алгебрі октав.

Алгебра $𝕆$ вже повинна збігатися з алгеброю $𝒜$, оскільки вона вже не є асоціативною.

Джерела

• Шаблон:Кантор.Солодовников