Формула Остроградського

Шаблон:Числення Формула Острогра́дського — формула, що виражає потік векторного поля через замкнену поверхню через інтеграл від дивергенції цього поля по об'єму, замкнутий під поверхнею.

Якщо векторне поле задане диференційовними функціями $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$ та $R(x,y,z)$, то

$\underset{V}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz=\underset{S}{\iint }Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$.

У векторній формі її можна переписати як

$\underset{V}{\iiint }\text{div}𝐅dV=\underset{S}{\iint }𝐅d𝐒$,

де

$𝐅$ — векторне поле.

Михайло Васильович Остроградський довів цю рівність у 1831 році.

Окремі випадки загальної формули були відомі й раніше. Двовимірний аналог цієї формули називають формулою Гріна, а сама формула також відома під назвою формула Гаусса або формула Остроградського — Гаусса.

Твердження формули є окремим випадком загальної теореми Стокса.

Теорема Остроградського застосовується при вивченні процесів, які описуються векторними полями (напр., гравітаційним полем, полем напруг, електромагнітним та магнітним полями, полем швидкостей рідини тощо).

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2