Періодична функція

Графіки синуса і косинуса — періодичних функцій с періодом $T=2\pi$.

Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повторює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

Означення

Нехай $M$ — абелева група (зазвичай вважається, що $M=(ℝ,+)$ — дійсні числа з операцією додавання або $(ℂ,+)$ — комплексні числа). Функція $f:M\to N$ називається періодичною з пері́одом $T\ne 0$ , якщо виконується

$f(x+T)=f(x-T)=f(x),\mathrm{\forall }x\in M$.

Якщо ця рівність не виконується для всіх $T\in M,T=0$ , то функція $f$ називається аперіоди́чною.

Якщо для функції $f:ℂ\to N$ існують два періоди $T_1,T_2=0$, відношення яких не рівне дійсному числу, тобто є $\frac{T_1}{T_2}\in ̸ℝ$, то $f$ називається двоперіоди́чною фу́нкцією. В цьому випадку значення $f$ на всій площині визначаються значеннями в паралелограмі, натягнутому на $T_1,T_2$.

Примітка

Період функції визначається неоднозначно. Так, якщо $T$ — період, то і довільний елемент $T^{\prime }$ вигляду $T^{\prime }=\underset{n}{\underbrace{T+\cdots +T}}$ , де $n\in \mathbb{N}$ — довільне натуральне число, теж є періодом.

Але якщо серед множини періодів $\{T,T>0,T\in ℝ\}$ є найменше значення, то воно називається головним (або основним) періодом функції.

Дії над періодичними функціями

Виконуються наступні твердження стосовно суми періодичних функцій:

• Сума двох функцій зі співрозмірними (тобто, такими, що їх відношення є раціональним числом) періодами $T_1$ і $T_2$ є функцією з основним періодом НСК$(T_1,T_2)$.
• Сума двох функцій із неспіврозмірними періодами є неперіодичною функцією.
• Не існує періодичних функцій, не рівних константі, у яких періодами є неспіврозмірні числа.

Приклади

• Дійсні функції синус і косинус є періодичними з основним періодом $2\pi$ , оскільки

$\sin (x+2\pi )=\sin x,\cos (x+2\pi )=\cos x,\mathrm{\forall }x\in ℝ.$

• Функція рівна константі $f(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ є періодичною, і довільне дійсне число є її періодом. Головного періоду вона не має.

• Функція $f(x)=x^2,x\in ℝ$ є аперіодичною.

Див. також

• Майже періодична функція
• Ряд Фур'є
• Коливання
• Гармонічний аналіз

Посилання

• Шаблон:УСЕ-4
• Шаблон:Вирченко.Графики функций
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Періодичні функції на MathWorld Шаблон:Webarchive