Диференційовна функція

Приклад диференційовної функції

Функція однієї чи кількох дійсних змінних називається диференційовною в точці, якщо в деякому околі цієї точки вона в певному сенсі досить добре наближається деякою лінійною функцією (відображенням). Дане лінійне відображення називається диференціалом функції в цій точці.

Якщо функція є диференційовною в кожній точці деякої множини, то вона називається диференційовною на цій множині.

У випадку функцій однієї змінної умова диференційовності еквівалентна умові існування похідної.

Функції однієї змінної

Нехай функція $y=f(x)$ визначена в деякому околі точки $x_0$ і нехай $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$. Функція $f$ називається диференційовною в точці $x_0$ (Шаблон:Lang-en), якщо приріст $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ можна представити у вигляді:

$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+\alpha (\mathrm{\Delta }x)$.

де:

$A$ — стала. При фіксованій $x_0$ A не залежить від $\mathrm{\Delta }x$; але коли відбувається зміна $x_0$, A змінюється також,

$\alpha (\mathrm{\Delta }x)=o(\mathrm{\Delta }x)$ при $x\to 0$.

Лінійна функція $A\mathrm{\Delta }x$ (від $\mathrm{\Delta }x$) називається диференціалом функції в точці $x_0$ і позначається $df(x_0)$, або, коротше $dy$.

Таким чином:

$\mathrm{\Delta }y=dy+o(\mathrm{\Delta }x)$ при $\mathrm{\Delta }x\to 0$,

$dy=A\mathrm{\Delta }x$.

Властивості

Для того, аби функція $f$ була диференційовна в деякій точці $x_0$, необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:

$dy=f^{\prime }(x_0)dx$.

Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.

Функції багатьох змінних

Відображення $f:M\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^m$ називається диференційовним в точці $x_0$ якщо існує лінійне відображення $A:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, що залежить від точки $x_0$, таке що

$f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(\Vert x-x_0\Vert ),x\to x_0,$

або

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{\Vert f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)\Vert }{\Vert x-x_0\Vert }=0$.

Лінійне відображення $A:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ називається диференціалом відображення $f(x)$ в точці $x_0$.

Якщо відображення $f:M\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^m$ задано за допомогою функцій

$f_i:M\subset {ℝ}^n\to ℝ,i=1,\dots ,m,$

то матриця диференціала $A$ — це матриця Якобі, елементи якої рівні частковим похідним ${𝐉}_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}.$

Зв'язок між диференційовністю і частковими похідними

На відміну від функцій однієї змінної де диференційовність еквівалентна існуванню похідної, у випадку багатьох змінних залежність з частковими похідними трохи складніша. Справедливими є наступні твердження.

• Якщо функція диференційовна в точці, то всі її часткові похідні і більш загально похідні за напрямком існують в цій точці.
• Зворотнє твердження невірне. Прикладом може бути функція

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}{y}^3/(x^2+y^2)& \text{if }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{if }(x,y)=(0,0)\end{array}$

для якої в точці (0, 0) існують похідні за всіма напрямками, зокрема і часткові похідні, але в цій точці функція не є диференційовною.

• Якщо всі часткові похідні в точці існують і додатково є в ній неперервними то функція є диференційовною.
• Умова неперервності часткових похідних не є необхідною для диференційовності. Наприклад у функції нижче обидві часткові похідні не є неперервні в точці (0, 0) але вона є диференційовною в цій точці

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}(x^2+y^2)\sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)& \text{if }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{if }(x,y)=(0,0)\end{array}$

Див. також

• Похідна
• Інтегровна функція
• Часткова похідна
• Похідна за напрямком
• Точка зламу

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1