Оператор числа частинок

Оператор числа частинок — квантовий оператор, власні значення якого є кількість частинок у певному квантовому стані.

Оператор числа частинок позначається здебільшого $\hat{N}$ і задається формулою

$\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}$,

де ${\hat{a}}^{†}$ і $\hat{a}$ — оператори народження та знищення, відповідно.

Оператор числа частинок визначається для кожного базисного вектора стану у просторі Фока.

Ферміони

Для ферміонів власними значеннями оператора числа частинок є 0 і 1, а відповідні власні стани можна позначити $|0⟩$ та $|1⟩$:

$\hat{N}|0⟩=0,\hat{N}|1⟩=1$

Оператор числа частинок для ферміонів часто, зокрема при розгляді системи частинок, які не взаємодіють між собою, комутує з оператором енергії — гамільтоніаном. В такому випадку вони можуть мати спільну систему власних функцій, тобто число частинок в певному стані й енергію квантової системи можна визначити одночасно. При врахуванні взаємодії між частинками їхнє число в різних станах не зберігається.

У квантовій статистиці усереднення оператора числа частинок стану $|n⟩$ по рівноважному стану дає розподіл Фермі-Дірака.

$⟨|{\hat{N}}_n|⟩=\frac{1}{e^{({\epsilon }_n-\mu )/k_{B}T}+1}$,

де ${\epsilon }_n$ — енергія n-го одночастинкового стану, $k_B$ — стала Больцмана, T — температура, $\mu$ — хімічний потенціал.

Бозони

Для бозонів власними значеннями оператора числа частинок є цілі числа n, а відповідні власні стани можна позначити $|n⟩$.

$\hat{N}|n⟩=n|n⟩$

У квантовій статистиці усереднення оператора числа частинок стану $|n⟩$ по рівноважному стану дає розподіл Бозе-Ейнштейна.

$⟨|{\hat{N}}_n|⟩=\frac{1}{e^{({\epsilon }_n-\mu )/k_{B}T}-1}$,

Див. також

• Вторинне квантування