Сума

Шаблон:Sidebar Су́ма (Шаблон:Lang-lat) — результат операції додавання.

Наприклад, у виразі

4 + 5 = 9

9 є сумою, а числа 4 і 5 називаються доданками.

Сума позначається знаком + (плюс).

Для позначення суми членів послідовності використовується символ $\sum$ (велика грецька літера сигма), наприклад

$\sum _{i=1}^N{a}_i=a_1+a_2+\dots a_N$.

Якщо послідовність нескінченна, то така сума називається числовим рядом і позначається

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$.

В алгебраїчний вираз можуть входити члени, знаки яких наперед не визначені. Тобто для певних членів виразу виконується операція додавання, для інших — віднімання. Тому вираз загального вигляду, до якого входять операції додавання і віднімання називають алгебраїчною сумою. Наприклад,

$5-4=5+(-4)$

$a-b=a+(-b)$

Визначена сума

Часто для скорочення суму з n доданків a_k, a_k+1, …, a_N позначають великою грецькою буквою Σ (сигма):

$a_k+a_{k+1}+...+a_N=\sum _{i=k}^N{a}_i$

Це позначення називається визначеною (скінченню) сумою a_i по i від k до N.
Для зручності замість $\sum _{i=k}^N{a}_i$ інколи пишуть $\sum _{P(i)}^{}{a}_i$, де $P(i)$ — деяке відношення для $i$, таким чином $\sum _{P(i)}^{}{a}_i$ це скінченна сума всіх $a_i$, де $i\in Z:P(i)$
Властивості визначеної суми:

1. $\left(\sum _{i=k_1}^{k_2}{a}_i\right)\left(\sum _{j=p_1}^{p_2}{b}_j\right)=\sum _{i=k_1}^{k_2}\left(\sum _{j=p_1}^{p_2}{a}_i{b}_j\right)$
2. $\sum _{i=k_1}^{k_2}\sum _{j=p_1}^{p_2}{a}_{ij}=\sum _{j=p_1}^{p_2}\sum _{i=k_1}^{k_2}{a}_{ij}$
3. $\sum _{i=k_1}^{k_2}(a_i+b_i)=\sum _{i=k_1}^{k_2}{a}_i+\sum _{i=k_1}^{k_2}{b}_i$
4. $\sum _{i=k_1}^{k_2}z\cdot a_i=z\cdot \sum _{i=k_1}^{k_2}{a}_i$

Приклади

1. Сума арифметичної прогресії:

   $\sum _{i=0}^n(a_0+b\cdot i)=(n+1)\frac{a_0+a_n}{2}$

2. Сума геометричної прогресії:

   $\sum _{i=0}^n{a}_0\cdot b^i=a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

3. $\sum _{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i=\frac{p}{p-1}(1-\frac{1}{p^{n+1}}),p\ne 1,n\ge 0$

1. $\sum _{i=0}^{n}i{p}^i=\frac{n{p}^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1{)}^2},p\ne 1$

1. $\sum _{i=0}^n{p}^i=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1,p\ne 1$

1. • При $p=10$ отримуємо $\sum _{i=0}^{n}10^i=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^i)+n+1$, а це послідовність рівнянь наступного вигляду:
     $1=9\cdot 0+1,11=9\cdot 1+2,111=9\cdot 12+3,1111=9\cdot 123+4,11111=9\cdot 1234+5$

Невизначена сума

Невизначеною сумою a_i по i називається така функція f(i), яка позначається $\sum _i^{}{a}_i$, що $\mathrm{\forall }if(i+1)-f(i)=a_{i+1}$.

Формула Ньютона-Лейбніца

Шаблон:Main Якщо знайдена невизначена сума $\sum _i^{}{a}_i=f(i)$, тоді $\sum _{i=k}^N{a}_i=f(N+1)-f(k)$. 

Етимологія

Латинське слово summa перекладається як «головний пункт», «сутність», «підсумок». З XV століття слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово «підсумувати» (1489 рік)Шаблон:Джерело?.

Це слово проникло в багато сучасних мов: в українську, англійську, французьку та інші.

Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів Ейлер в 1755 році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування та інтегрування, S також використовували для позначення операції інтегрування.

Див. також

• Добуток
• Контрольна сума