Лінія Ейлера

Пряма Ейлера (червона) — це пряма, яка проходить через центроїд (помаранчевий), ортоцентр (синій), центр описаного кола (зелений) та центр кола дев'яти точок (червоний).

В геометрії пряма Ейлера, названа на честь Леонарда Ейлера, — це пряма, яка визначена для будь-якого трикутника відмінного від рівностороннього. Вона є Шаблон:Нп трикутника і проходить через кілька важливих точок, які визначаються по трикутнику, включаючи ортоцентр, описане коло, центроїд, Шаблон:Нп та центр кола дев'яти точок трикутника.

Поняття прямої Ейлера в трикутнику поширюється на пряму Ейлера для інших фігур, такі як чотирикутник і тетраедр.

Центри трикутника на прямій Ейлера

Окремі центри

У 1765 році Ейлер показав, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, центр описаного кола та центроїд лежать на одній прямій. Ця властивість справедлива і для іншого центра трикутника, — центра кола дев'яти точок, хоча він не був визначений за часів Ейлера. У рівносторонніх трикутниках ці чотири точки збігаються, але в будь-якому іншому трикутнику всі вони відрізняються один від одного, і пряма Ейлера визначається будь-якими двома з них.

Інші визначні точки, які лежать на прямій Ейлера, включають Шаблон:Нп, Шаблон:Нп, Шаблон:Нп та Шаблон:Нп. Однак центр вписаного кола, зазвичай, не лежить на прямій Ейлера; він знаходиться на прямій Ейлера лише для рівнобедрених трикутників, для якої пряма Ейлера збігається з віссю симетрії трикутника і містить усі центри трикутника.

Тангенціальний трикутник опорного трикутника дотичний до кола описаного навколо останнього у вершинах опорного трикутника. Цент кола описаного навколо дотичного трикутника лежить на прямій Ейлера опорного трикутникаШаблон:RpШаблон:Rp. Шаблон:Нп ортичного трикутника (утвореного основами висот) та дотичного трикутника також знаходиться на прямій ЕйлераШаблон:RpШаблон:Rp.

Векторне доведення

Розглянемо трикутник $ABC$. Довести, що центр описаного кола $O$, центроїд $G$ та ортоцентр $H$ є колінеарними, можна за допомогою векторів. По-перше, $G$ задовольняє відношенню:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0.$

Це випливає з того, що модулі барицентричних координат $G$ відносяться як $\frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3}$. Далі, задача Сильвестра інтерпретується як

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$

Тепер, за допомогою векторного додавання, отримаємо, що

$\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AO}\text{(}\mathrm{△}AGO\text{)},\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BO}\text{(}\mathrm{△}BGO\text{)},\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CO}\text{(}\mathrm{△}CGO\text{)}.$

Додаючи усі ці три вирази, отримаємо, що

$3\cdot \overrightarrow{GO}=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO})=0-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=-\overrightarrow{OH}.$

Остаточно, $3\cdot \overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OH}$ і три точки $O$, $G$ і $H$ (у такій послідовності) будуть колінеарними.

У книзі Доррі пряма Ейлера та проблема Сильвестра об'єднані в одне доведення. Однак більшість доказів задачі Сильвестра спираються на основні властивості вільних векторів, незалежно від прямої Ейлера.

Відстані між центрами

На прямій Ейлера центроїд $G$ знаходиться між центром описаного кола $O$ і ортоцентром $H$, і вдвічі далі від ортоцентра, ніж від центра описаного колаШаблон:Rp:

$GH=2GO;$

$OH=3GO.$

Відрізок $GH$ — це діаметр Шаблон:Нп.

Центр $N$ кола дев'яти точок лежить уздовж прямої Ейлера посередині між ортоцентром і центром описаного кола:

$ON=NH,OG=2\cdot GN,NH=3GN.$

Таким чином, пряма Ейлера може бути представлена на числовій прямій з центром описаного кола $O$ розташованим у 0, центроїдом $G$ в 2$t$, центром кола дев'яти точок у 3$t$ і Шаблон:Нп $H$ в 6$t$, для деякого коефіцієнту масштабу $t$. Крім того, квадрат відстані між центроїдом та центром описаного кола на прямій Ейлера менше, ніж R² описаного кола на величину, яка дорівнює 1/9 сумі квадратів сторін трикутника $a$, $b$ та $c$Шаблон:Rp:

$G{O}^2=R^2-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2).$

Також виконуютьсяШаблон:Rp,

$O{H}^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2);$

$G{H}^2=4R^2-\frac{4}{9}(a^2+b^2+c^2).$

Представлення

Нехай A, B, C позначають кути вершин трикутника, x : y : z — задають координати точки у трилінійних координатах; тоді рівнянням прямої Ейлера буде

$\sin (2A)\sin (B-C)x+\sin (2B)\sin (C-A)y+\sin (2C)\sin (A-B)z=0.$

Рівняння для прямої Ейлера в барицентричних координатах $\alpha :\beta :\gamma$:

$(\mathrm{t}\mathrm{g}C-\mathrm{t}\mathrm{g}B)\alpha +(\mathrm{t}\mathrm{g}A-\mathrm{t}\mathrm{g}C)\beta +(\mathrm{t}\mathrm{g}B-\mathrm{t}\mathrm{g}A)\gamma =0.$

Параметричне представлення

Інший спосіб представити пряму Ейлера — залежною від параметра t. Скористаємось трилінійними координатами двох точок — центром описаного кола (з трилінійними координатами $\cos A:\cos B:\cos C$) та ортоцентром (з трилінійними координатами $\sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B)$. Тоді кожна точка на прямій Ейлера, крім ортоцентра, задається трилінійними координатами

$\cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B$

як лінійна комбінація трилінійними координат цих двох точок, для деякого t.

Наприклад:

• Центр описаного кола має трилінійні координати $\cos A:\cos B:\cos C$, що відповідає значенню параметра $t=0.$
• Центроїд має трилінійні координати $\cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B$, що відповідає значенню параметра $t=1.$
• Центр кола дев'яти точок має трилінійні координати $\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B$, що відповідає значенню параметра $t=2.$
• Шаблон:Нп має трилінійні координати $\cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B$, що відповідає значенню параметра $t=-1.$

Нахил

У декартовій системі координат позначають нахили сторін трикутника як $m_1,$ $m_2,$ та $m_3,$ і позначають нахил його прямої Ейлера як $m_E$. Тоді вони пов'язані рівняннямШаблон:Rp

$m_1{m}_2+m_1{m}_3+m_1{m}_E+m_2{m}_3+m_2{m}_E+m_3{m}_E+3m_1{m}_2{m}_3{m}_E+3=0.$

Таким чином, нахил прямої Ейлера (якщо він скінченний) виражається в термінах нахилів сторін як

$m_E=-\frac{m_1{m}_2+m_1{m}_3+m_2{m}_3+3}{m_1+m_2+m_3+3m_1{m}_2{m}_3}.$

Більше того, пряма Ейлера паралельна стороні гострого трикутника BC тоді і лише тоді, колиШаблон:Rp $\mathrm{t}\mathrm{g}B\mathrm{t}\mathrm{g}C=3.$

Зв'язок з вписаними рівносторонніми трикутниками

Геометричне місце точок центроїдів рівносторонніх трикутників, вписаних у даний трикутник, утворена двома прямими, перпендикулярними прямій Ейлера даного трикутникаШаблон:Rp.

У спеціальних трикутниках

Прямокутний трикутник

У прямокутному трикутнику пряма Ейлера збігається з медіаною проведеною до гіпотенузи, тобто вона проходить через вершину прямого кута і через середину сторони, протилежну цій вершині. Це тому, що ортоцентр прямокутного трикутника, перетин його висот потрапляє у вершину прямого кута, тоді як його центр описаного кола, перетин серединних перпендикулярів до сторін, потрапляє на середину гіпотенузи.

Рівнобедрений трикутник

Пряма Ейлера в рівнобедреному трикутнику збігається з віссю симетрії. У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола потрапляє на лінію Ейлера.

Посилання

• An interactive applet showing several triangle centers that lies on the Euler line Шаблон:Webarchive.Шаблон:Ref-en
• "Euler Line" Шаблон:Webarchive and "Non-Euclidean Triangle Continuum" Шаблон:Webarchive at the Wolfram Demonstrations Project
• Nine-point conic and Euler line generalization Шаблон:Webarchive, A further Euler line generalization Шаблон:Webarchive, and The quasi-Euler line of a quadrilateral and a hexagon Шаблон:Webarchive at Dynamic Geometry Sketches Шаблон:Webarchive
• Олександр Богомольний, Висота трикутника та пряма Ейлера Шаблон:Webarchive та Пряма Ейлера та коло 9-ти точок Шаблон:Webarchive на сайті «cut-the-knot»
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Mathworld