Рівняння Фоккера — Планка

Розпливання функції розподілу з часом

Рівня́ння Фо́ккера — Пла́нка — диференціальне рівняння в частинних похідних, що описує еволюцію функції розподілу випадкової величини.

Для одновимірної випадкової величини рівняння Фоккера — Планка має загальний вигляд

$\frac{\partial P}{\partial t}=[-\frac{\partial }{\partial x}{D}^{(1)}(x)+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{D}^{(2)}(x)]P$,

де $P(x,t)$ — функція розподілу випадкової величини, $D^{(1)}(x)$ називається дрейфовим коефіцієнтом, а $D^{(2)}(x)$ — дифузійним коефіцієнтом.

Наприклад, у випадку броунівського руху вздовж прямої рівняння Фоккера — Планка для функції розподілу частинок за швидкостями має вигляд:

$\frac{\partial P}{\partial t}=-\gamma \frac{\partial (vP)}{\partial v}+\gamma \frac{k_{B}T}{m}\frac{{\partial }^{2}P}{\partial v^2}$,

де $v$ — швидкість броунівської частки, $m$ — її маса, $k_B$ — стала Больцмана, T — температура, $\gamma$ — коефіцієнт в'язкості, розділений на масу частки.

Дифузійний і дрейфовий коефіцієнти можна отримати, розглядаючи відповідне рівняння Ланжевена.

Див. також

• Рівняння Смолуховського

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга