Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі

Деякі траєкторії руху частки в одномірному ящику згідно з механікою Ньютона (A), та згідно з рівнянням Шредінгера та квантовою механікою (B-F). У випадку (B-F), горизонтальна вісь відображає позицію частки, а вертикальні осі - реальну частину (голубі) та уявну частину (червоні) хвильової функції. Стани (B,C,D) відображають енергетичні стани, проте (E,F) - ні.

Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі - задача квантової механіки що вивчає рух частинки в потенціальній ямі прямокутної форми та з нескінченно високими стінками.

Задача знаходження стаціонарних станів руху частки маси $\mu$ в зовнішньому потенціальному полі зводиться до знаходження власних значень оператора енергії, тобто до розв'язку рівняння Шредінгера:

$\{{\mathrm{\Delta }}^2+\frac{2\mu }{\hslash {}^2}[E-U(\overrightarrow{r})]\}\psi =0$.

Це рівняння є лінійним диференційним рівнянням другого порядку. Точні аналітичні розв'язки можуть бути знайдені тільки для деяких видів оператора потенційної енергії. Очевидно, що задача знаходження хвильових функцій рівняння Шредінгера у випадку прямокутної потенційної ями належить до найпростіших, і тому для неї можна знайти точні аналітичні розв'язки. В цьому випадку хвильова функція має розриви в точках стрибкоподібної зміни потенціальної енергії. Тому в цих точках необхідно проводити зшивання хвильових функцій, щоб забезпечити їх неперервність. Якщо енергія частки обмежена і стрибок потенційної енергії на поверхні розриву скінченний, то із рівняння Шредінгера випливає необхідність неперервності і $\mathrm{\nabla }\psi$ на поверхні розриву. Таким чином, граничні умови на поверхні $\sigma$ зі скінченним стрибком потенціалу зводяться до вимоги:

$\psi$ та $\mathrm{\nabla }\psi$ неперервні на $\sigma$

Одновимірна прямокутна яма

Розглянемо частинку, яка рухається в потенціальному полі прямокутної форми:

$U(x)=\{\begin{array}{cc}0,& -a/2\le x\le a/2,\\ U_0,& x<-a/2,x>a/2\end{array}$

В цьому випадку рівняння Шредінгера зводиться до одновимірного рівняння:

$\{\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{2\mu }{\hslash {}^2}[ϵ-U(x)]\}\psi (x)=0$.

В цьому випадку, внаслідок симетричного вибору системи координат, потенційна енергія та оператор Гамільтона інваріантні відносно перетворення інверсії $x\to -x$, і тому всі стаціонарні стани відносяться або до станів позитивної парності, або до станів з негативною парністю. Такий вибір системи координат у значній мірі спрощує розв'язок задачі, оскільки досить знайти розв'язок тільки для області позитивних значень $x$, тобто в області $0\le x<\mathrm{\infty }$. Хвильові функції станів негативної парності повинні приймати нульове значення в точці $x=0$; для станів позитивної парності при $x=0$ повинна приймати нульове значення похідна хвильової функції по координаті.

Будемо відраховувати енергію відносно "дна" потенціальної ями, тоді енергія $ϵ\ge 0$. Розглянемо значення енергії $ϵ<U_0$. Нехай далі:

$k^2=\frac{2\mu ϵ}{\hslash {}^2},{\gamma }^2=\frac{2\mu }{\hslash {}^2}(U_0-ϵ).$

Тоді одновимірне рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді:

$(\frac{a}{b}+k^2){\psi }_I,0\le x\le a/2;$

$(\frac{a}{b}-{\gamma }^2){\psi }_I,;x\ge a/2;$

Скінченні розв'язки ${\psi }_{II}$ при $x\to \mathrm{\infty }$ можна записати у вигляді

${\psi }_{II}=A{e}^{-\gamma x}$.

А розв'язки ${\psi }_I$, які відповідають станам позитивної парності, будуть:

${\psi }_I^{(+)}=B\cos kx$.

Для станів негативної парності маємо:

${\psi }_I^{(-)}=C\sin kx$

Розглянемо спершу стани позитивної парності. Із умови неперервності $\psi$ та $\frac{d\psi }{dx}$ в точці $x=a/2$ випливає два однорідних рівняння для визначення $A$ та $B$:

$B\cos (ka/2)=A{e}^{-\gamma a/2},$

$B\sin (ka/2)=\frac{\gamma }{k}A{e}^{-\gamma a/2}.$

Ця система рівнянь має відмінні від нуля розв'язки тільки при умові:

$k\tan (ka/2)=\gamma =\sqrt{\frac{2\mu U_0}{\hslash {}^2}-k^2}$.

Оскільки тангенс є періодична функція із періодом $\pi$, то це рівняння можна перетворити до вигляду:

$ka=n\pi -2\arcsin \left(\frac{\hslash k}{\sqrt{2\mu U_0}}\right)$

де $n=1,3,\dots ;$ значення арксинуса необхідно брати в інтервалі $0,\pi /2$. Останнє рівняння є трансцендентним по формі і визначальним для позитивних значень хвильового числа $k$. Тому можливі рівні енергії, які відповідають станам з позитивною парністю. Оскільки аргумент арксинуса не може перевищувати 1, то значення $k$ можуть лежати тільки в інтервалі $0\le k\le \frac{\sqrt{2\mu U_0}}{\hslash }$. Значення $k_n$, що задовольняють це рівняння при $n=1,3,\dots ;$ відповідають точкам перетину прямої $ka$ та монотонно спадаючих кривих

${\zeta }_n(k)=n\pi -2\arcsin \left(\frac{\hslash k}{\sqrt{2\mu U_0}}\right).$.

Особливо простий вигляд мають розв'язки останнього рівняння для нескінченно великих значень $U_0$ ($U_0\gg ϵ$). У цьому разі

$\arcsin \left(\frac{\hslash k}{\sqrt{2\mu U_0}}\right)\approx 0$

та $\frac{\pi }{a}n,$ де $n=1,3,\dots ;$ При цьому енергія частки

${ϵ}_n^{(+)}=\frac{{\pi }^2\hslash {}^2}{2\mu a^2}{n}^2$, $n$ непарне.

Хвильові функції ${\psi }_{II}=0$. А хвильові функції всередині ями, нормовані умовою:

$\underset{-a/2}{\overset{a/2}{\int }}|{\psi }_I{|}^{2}dx=1,$

мають вигляд

${\psi }_I^{(+)}=\sqrt{\frac{2}{a}}\cos \left(\frac{\pi n}{a}x\right)$, $n$ непарне.

Для станів з негативною парністю умови неперервності $\psi$ та $\frac{d\psi }{dx}$ у точках $x=a/2$ приводять до системи рівнянь:

$C\sin ka/2=A{e}^{-\gamma a/2},$

$C\cos ka/2=-\frac{\gamma }{k}A{e}^{-\gamma a/2},$

Із умови розв'язності цієї системи рівнянь маємо:

$k\cot ka/2=-\gamma .$

Враховуючи періодичність котангенса, можна отримати рівняння, що за формою збігається з трансцендентним попереднім рівнянням. При $n=2,4,6,\dots$ воно визначає значення $k_n$, які відповідають дискретним станам негативної парності.

Таким чином, дискретні рівні енергії частки в симетричній потенційній ямі виражаються формулою

${ϵ}_n=\frac{\hslash {}^2{k}_n^2}{2\mu a^2}$, де $k_n$ визначаються точками перетину прямої $ka$ та монотонно спадаючими функціями рівняння із арксинусом. Значення $n=1,3,\dots ;$ відповідають станам позитивної парності, а значення $n=2,4,6,\dots$ відповідають станам негативної парності.

Література

• Шаблон:Книга

Посилання

• Scienceworld Шаблон:Webarchive (Infinite Potential Well)
• Scienceworld Шаблон:Webarchive (Finite Potential Well)
• 1-D quantum mechanics java applet Шаблон:Webarchive simulates particle in a box, as well as other 1-dimensional cases.
• 2-D particle in a box applet Шаблон:Webarchive

Див. також

• Рівні Ландау
• Квантовий осцилятор
• Квантовий рух в електричному полі
• Рівні Ландау