Потік векторного поля

Шаблон:Числення В математиці, термін потік векторного поля використовується для двох різних понять:

1. Потік векторного поля через гіперповерхню — поверхневий інтеграл другого роду на поверхні $S$. За означенням

${\mathrm{\Phi }}_F=\underset{S}{\iint }(𝐅,𝐧)dS$

де $𝐅=𝐅\mathbf{(}𝐗\mathbf{)}=\{F_x(𝐗),F_y(𝐗),F_z(𝐗)\}$ — векторне поле (чи вектор-функція векторного аргументу — точки простору), $𝐧$ — одиничний вектор додатної нормалі до поверхні (додатній напрям обирається для орієнтованої поверхні умовно, але однаково для всіх точок — тобто для диференційовної поверхні — так, щоб $𝐧$ був неперервним; для неорієнтованої поверхні це не важливо, оскільки потік через неї завжди дорівнює нулю), $dS$ — інфінітозимальний елемент поверхні. В фізиці іноді застосовують позначення

$d𝐒=𝐧dS$

тоді потік записується у вигляді

${\mathrm{\Phi }}_F=\underset{S}{\iint }(𝐅,d𝐒)=\underset{S}{\iint }𝐅\cdot d𝐒$

Потік вектора напруженості Ф через майданчик ds - кількість силових ліній, що пронизують цей майданчик ds.

2. Потік векторного поля $\overrightarrow{A}$ — однопараметрична родина дифеоморфізмів ${\mathrm{\Gamma }}_t$, що визначаються диференційним рівнянням

$d{\mathrm{\Gamma }}_t(x)/dt=\overrightarrow{A}({\mathrm{\Gamma }}_t(x)).$

Фізична інтерпретація

Нехай рух нестисливої рідини одиничної густини задано векторним полем швидкості $𝐯=𝐯(x,y,z)$. Тоді маса рідини, що протече за одиницю часу через поверхню $S$ буде дорівнювати потоку векторного поля $𝐯$ через поверхню $S$.

Див. також

• Формула Остроградського
• Векторна трубка

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр