Тригонометрична тотожність Піфагора

Піфаго́рова (Пітаго́рова) тригонометри́чна тотожність стверджує, що для довільного кута $A$

${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$.

Цю тотожність називають також тригонометричною одиницею.

Прямокутний трикутник

Доведення

$c=\sqrt{a^2+b^2}$,

$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$,

$\cos A=\frac{b}{c}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$,

$\begin{array}{ccc}{\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A& =& {\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2\\ & =& {\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2+{\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2\\ & =& (\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\times \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\times \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})\\ & =& \frac{a^2}{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2}+\frac{b^2}{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2}\\ & =& \frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}\\ & =& \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}\\ & =& 1\end{array}$,
або

$\begin{array}{ccc}{\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A& =& {\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2\\ & =& (\frac{a}{c}\times \frac{a}{c})+(\frac{b}{c}\times \frac{b}{c})\\ & =& \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}\\ & =& \frac{a^2+b^2}{c^2}\\ & =& \frac{a^2+b^2}{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2}\\ & =& \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}\\ & =& 1\end{array}$.

Див. також

• Тригонометричні функції

Шаблон:Математика-доробити