Граничні умови Борна-Кармана

Граничні умови Борна-Кармана — Шаблон:Не перекладено, які накладаються на хвильові функції в нескінченному середовищі з трансляційною симетрією з метою дискретизації неперервного спектру одноелектронних станів.

За теоремою Блоха, хвильові функції в середовищі з трансляційною симетрією, наприклад, в нескінченному кристалі, мають вигляд

$\psi (𝐫)=e^{i𝐤\cdot 𝐫}\varphi (𝐫)$,

де $\varphi (𝐫)$ — періодична функція.

При застосуванні граничних умов Борна-Кармана додатково вимагають періодичності хвильової функції з періодом $N𝐚$, де $𝐚$ — базовий вектор елементарної комірки кристала, а N — велике число. В такому випадку хвильовий вектор $𝐤$ може мати тільки дискретні значення (залежні від N):

${𝐤}_i=\frac{i}{N}𝐛$,

де $𝐛$ — вектор оберненої ґратки.

Дискретизація спектру проводиться для зручності роботи з хвильовими функціями і квантовими числами.

При виконанні підсумовувань по хвильових векторах зручно проводити обернений перехід до неперервного спектру за схемою

$\sum _{𝐤}\to \frac{V}{(2\pi {)}^3}\int d^{3}k$,

де V — об'єм кристала.

Див. також

• Квазічастинки