Метод Гальоркіна

Шаблон:Диференціальні рівняння Метод Гальоркіна — чисельний метод розв'язання диференціальних рівнянь з граничними умовами. Диференціальні рівняння з граничними умовами у математичній фізиці називаються задачею математичної фізики.

Загальне формулювання

Нехай є диференціальне рівняння з деякими крайовими умовами (першого роду)

$\hat{A}[u(x)]=f(x)$,$a\le x\le b$, (1)

$u(a)=\alpha$,$u(b)=\beta$.

Наближений розв'язок шукаємо у вигляді наступної суми

$u(x)\approx y_n(x)={\varphi }_0(x)+\sum _{k=1}^n{\varphi }_k(x)*{\alpha }_k$, (2)

де

${\varphi }_0(x)$ — деяка неперервна функція, що задовільняє крайові умови (1),

${\varphi }_k(x)$, $1\le k<\mathrm{\infty }$, якась система лінійно незалежних функцій, повна в класі неперервних функцій, що визначені на відрізку [a, b] і набувають нульових значень на його кінцях.

Якщо для функції $u(x)$ вираз $\hat{A}[u(x)]-f(x)$ є ортогональним до ${\varphi }_k(x)$ при $k\ge 1$, то $u(x)$ — розв'язок задачі (1).

Якщо ортогональність є тільки при $1\le k\le n$, то

$\hat{A}[u(x)]\approx f(x)$.

Замість $u(x)$ будемо брати наближений розв'язок у формі (2) і будемо вимагати, щоб

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\hat{A}[y_n(x)]-f(x)]{\varphi }_k(x)dx=0,1\le k\le n.$

Застосування до квантової механіки

Нехай є диференціальне рівняння на функцію u(x)-

$\hat{H}[u(x)]=Eu(x)$

де H — оператор.

Саму функцію $u(x)$ представляють у вигляді суми — : $u(x)={\varphi }_0(x)+\sum _{i=1}^N{\varphi }_i(x){\alpha }_i$.

Метод дає нам саме коефіцієнти ${\alpha }_i$.

Розглянемо функції ${\varphi }_i(x)$ на [0,∞).

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\varphi }_j(x)*{\varphi }_i(x)dx=b_{j,i}$

Домножимо рівняння $H[u(x)]=Eu(x)$ на ${\varphi }_j(x)$ і проінтегруємо, маємо — : $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\varphi }_j(x)*\hat{H}[u(x)]dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\varphi }_j(x)*E*u(x)dx$

$\sum _{i=1}^N{\alpha }_i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\varphi }_j(x)*\hat{H}[{\varphi }_i(x)]dx=\sum _{i=1}^N{b}_{j,i}*E{\alpha }_i$.

Введемо наступне позначення -

${\varphi }_{j,i}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\varphi }_j(x)*\hat{H}[{\varphi }_i(x)]dx$.

Маємо систему лінійних рівнянь -

$\sum _{i=1}^N{\alpha }_i[{\varphi }_{j,i}-E*b_{j,i}]=0$.

Яка розв'язується за умови -

$\det [{\varphi }_{j,i}-E*b_{j,i}]=0,j=1,N$.

Література

• Шаблон:Cite book

Посилання

• MathWorld: Galerkin Method
• Метод Галеркіна
• Н. Н. Каліткін «Численные методы» стор. 273