Друга теорема Веєрштрасса

Точна верхня межа (червоний) і точна нижня межа (синій) неперервної функції ƒ(x) на закритому проміжку [a,b]

Дру́га теоре́ма Веєрштрасса доводить досягнення неперервною функцією своїх точних меж. Вперше сформулював і довів німецький математик Карл Веєрштрасс.

Формулювання теореми

Якщо функція $f(x)$ неперервна на проміжку $[a,b]$, то вона досягає на цьому проміжку своїх точних верхньої та нижньої меж. (тобто на проміжку $[a,b]$ знайдуться точки $x_1$ та $x_2$ такі, що $f(x_1)=M$, $f(x_2)=m$.

Доведення

Доведемо, що функція $f(x)$ неперервна на проміжку $[a,b]$ досягає своєї точної верхньої межі $M$ (досягнення точної нижньої межі доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що функція $f(x)$ не приймає значення точної верхньої межі у будь-якій точці проміжку $[a,b]$. Тоді для всіх точок проміжку $[a,b]$ нерівність $f(x)<M$ є правильною, і ми можемо розглянути на проміжку $[a,b]$ скрізь додатну функцію

$F(x)=\frac{1}{M-f(x)}$.

Оскільки знаменник $M-f(x)$ не обертається в нуль та неперервний на проміжку $[a,b]$, то за теоремою про неперервність частки неперервних функцій, функція $F(x)$ також неперервна на проміжку $[a,b]$. У цьому разі, згідно з першою теоремою Веєрштрасса, функція $F(x)$ обмежена на проміжку $[a,b]$, тобто знайдеться таке додатне число $B$, що для будь-якого $x$ з проміжку $[a,b]$ справедлива нерівність:

$F(x)=\frac{1}{M-f(x)}\le B$.

Її можна переписати (враховуючи що $M-f(x)>0$) у такому вигляді:

$f(x)\le M-\frac{1}{B}$.

Це співвідношення правильне для будь-яких точок $x$ з проміжку $[a,b]$. Воно суперечить тому, що $M$ є точною верхньою межею (найменшою з усіх верхніх меж) функції $f(x)$ на проміжку $[a,b]$. Отже, отримана суперечність доводить хибність нашого припущення.

Теорему доведено.

Див. також

• Перша теорема Веєрштрасса
• Неперервна функція
• Карл Веєрштрас
• Теореми Веєрштраса у банахових просторах
• Теорема Веєрштрасса — Стоуна

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.