Континуум-гіпотеза

Шаблон:Універсальна картка Конти́нуум-гіпо́теза — гіпотеза, яку висунув Георг Кантор у 1877 і згодом безуспішно намагався її довести, що її можна сформулювати таким чином:

Будь-яка нескінченна підмножина континууму є або зліченною, або континуальною.

Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Давид Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі 1900 року. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта.

1940 року Курт Гедель довів, що у системі аксіом Цермело—Френкеля з аксіомою вибору (ZFC), континуум-гіпотезу не можна спростувати (за припущення про несуперечність ZFC); а 1963 року американський математик Пол Коен довів, що континуум-гіпотезу не можна довести, виходячи з тих же аксіом (також у припущенні про несуперечність ZFC). Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZFC.

Еквівалентні формулювання

Відомо кілька тверджень, еквівалентних континуум-гіпотезі:

• Пряма $ℝ$ може бути розфарбована в зліченну кількість кольорів так, що ні для якої одноколірної четвірки чисел $a,b,c,d$ не виконується умова $a+b=c+d.$
• Площина ${ℝ}^2$ може бути повністю покрита зліченним сімейством кривих, кожна з яких має вигляд $y=f(x)$ (тобто має єдину точку перетину з кожною вертикальною прямою) або $x=f(y)$ (має єдину точку перетину з кожною горизонтальною прямою).
• Простір ${ℝ}^3$ можна розбити на 3 множини так, що вони перетинаються з будь-якою прямою, паралельною осям Ox, Oy і Oz, відповідно, лише в скінченній кількості точок.
• Простір ${ℝ}^3$ можна розбити на 3 множини так, що для кожної з них існує така точка P, що ця множина перетинається з будь-якою прямою, що проходить через P, лише в скінченній кількості точок.

Узагальнення

Узагальнена континуум-гіпотеза стверджує, що для будь-якої нескінченної множини S, кожна множина, кардинальне число якої більше, ніж у S, має кардинальне число, яке більше або дорівнює 2^S.

Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як довели Серпінський 1947 р. і Шпеккер 1952 р., з неї випливає аксіома вибору.