Наближення сильного зв'язку

Шаблон:Методи розрахунку електронної структури Наближення сильного зв'язку — математичний метод розв'язку рівняння Шредінгера для знаходження енергетичних рівнів електронів у кристалічному твердому тілі в одноелектронному наближенні, в якому хвильова функція електрона будується як лінійна комбінація хвильових функцій атомів.

Гамільтоніан, що описує рух електрона в періодичному потенціалі в твердому тілі, можна записати у вигляді

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+\sum _{n}V(𝐫-{𝐚}_n)$,

де $\hslash$ — приведена стала Планка, m — маса електрона, $V(𝐫-{𝐚}_n)$ — потенціальна енергія електрона, зумовлена взаємодією з n-тим атомом, ${𝐚}_n$ — радіус-вектор n-го вузла.

Якщо функція $\varphi (𝐫)$ є власною функцією гамільтоніана

${\hat{H}}_0=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(𝐫)$,

із енергією ${ℰ}_0$, то в рамках методу сильного зв'язку хвильову функцію кристала шукають у вигляді

${\psi }_{𝐤}=\sum _n\varphi (𝐫-{𝐚}_n)e^{i𝐤\cdot {𝐚}_n}$,

який задовільняє умові теореми Блоха

Наближення сильного зв'язку застосовують тоді, коли інтегралом перекриття функцій $\varphi$, локалізованих на різних вузлах кристалічної ґратки можна знехтувати:

$\int \varphi (𝐫-{𝐚}_n)\varphi (𝐫-{𝐚}_n^{\prime })dV\approx 0$ при $n\ne n^{\prime }$.

Тоді закон дисперсії для електронних рівнів запишеться у вигляді

$ℰ(𝐤)={ℰ}_0+\sum _{n\ne n^{\prime }}{w}_{n{n}^{\prime }}{e}^{i𝐤\cdot {𝐚}_n}$,

де

$w_{n{n}^{\prime }}=\int {\varphi }^{*}(𝐫-{𝐚}_n)V(𝐫-{𝐚}_{n^{\prime }})\varphi (𝐫-{𝐚}_{n^{\prime }})dV$.

Аналогічну процедуру можна провести з будь-якою атомною орбіталлю. Як наслідок атомний енергетичний рівень ${ℰ}_0$ розщеплюється при взаємодії електрона з іншими атомами кристала у вузьку зону.

Наближення найближчих сусідів

Атомні орбіталі $\varphi$ швидко спадають із віддаллю, тож величини $w_{n{n}^{\prime }}$, які визначають ймовірність перестрибування електрона з одного вузла кристалічної ґратки на інший, можна вважати відмінними від нуля тільки для найближчих вузлів.

Наприклад, для простої кубічної ґратки з періодом a закон дисперсії електронних станів запишеться у вигляді

$ℰ(𝐤)={ℰ}_0+2w(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a+\cos k_{z}a)$.

Величина 2w визначає ширину зони.

Застосування

Наближення сильного зв'язку широко використовується в квантовій теорії твердого тіла, а також у квантовій хімії, де аналогічний метод часто називають методом Гюкеля.

Див. також

• Наближення майже вільних електронів
• Модель зануреного атома

Джерела

• Crystal-Field Theory, Tight-Binding Method and Jahn-Teller Effect