Функції Ваньє

Фу́нкції Ваньє́ — система ортонормованих локалізованих хвильових функцій, що застосовується для опису електронних станів кристалічних твердих тіл.

Функції Ваньє визначаються як

${\phi }_n({𝐚}_m,𝐫)={\phi }_n(𝐫-{𝐚}_m)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{𝐤}{u}_{n𝐤}(𝐫)e^{i𝐤\cdot (𝐫-{𝐚}_m)}$,

де n — номер зони, m — номер кристалічного вузла, ${𝐚}_m$ — вектор m-го вузла, N — число частинок в кристалі, функції $u_{n𝐤}(𝐫)$ — періодичні функції, які фігурують в блохівських хвильових функціях

${\psi }_{n𝐤}=u_{n𝐤}(𝐫)e^{i𝐤\cdot 𝐫}$

Функції Ваньє прив'язані до конкретного вузла m кристалічної ґратки й локалізовані біля цього вузла, спадаючи на далекій віддалі від нього за законом

$\phi (r)\propto \frac{\sin \pi r/a}{\pi r/a}$,

де a - період кристалічної ґратки.

Функції Ваньє ортогональні як щодо номера зони, та і щодо вузла m. Номер вузла відіграє щодо них роль квантового числа.

Застосування

Функції Ваньє зручніші від блохівських функцій при розгляді станів, локалізовних у певній області кристалу, наприклад, домішкових станів, чи екситонів.

Назва

Функції названі на честь швейцарського фізика Грегорі Ваньє, який запровадив їх у роботі 1937 року.

Джерела

• "The structure of electronic excitation levels in insulating crystals," G. H. Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937)
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book