Поверхневий інтеграл

Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи

У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).

Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.

Поверхневі інтеграли

Шмат поверхні $S$, заданий у параметричні формі: $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$, причому $(u,v)$ пробігають деяку область $\mathrm{\Gamma }$ площини, називається гладким, якщо різні пари значень $(u,v)$ дають різні точки $S$, часткові похідні функцій $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$ неперервні і завжди

$A^2+B^2+C^2>0,$ де

$A=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\\ \frac{\partial z}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial v}\end{array}\right|,B=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial z}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial v}\\ \frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\end{array}\right|,C=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|.$

Якщо поверхня $S$ складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то $S$ називається кусково гладкою.

Гладка поверхня $S$ називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на $S$, виходячи з будь-якої точки $M_0$ на $S$, повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в $M_0$. Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

Площа гладкої поверхні

Шаблон:Головна Хай поверхня $S$ задана параметрично: $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$, причому $u$ і $v$ пробігають деяку область $\mathrm{\Gamma }$ площини $u$, $v$. Тоді площа $S$ поверхні визначається поверхневим інтегралом

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\iint }\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$, де

$E={\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)}^2$,

$F=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}$,

$G={\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)}^2$.

Підінтегральний вираз

$\mathrm{d}S=\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

називається елементом поверхні.

Якщо $S$ задана явно рівнянням $z=\varphi (x,y)$, причому $(x,y)$ пробігають область $S^{\prime }$ (проєкцію області $S$ на площину $x0y$), то:

$S=\underset{S^{\prime }}{\iint }\sqrt{1+p^2+q^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, де

$p=\frac{\partial z}{\partial x}$, $q=\frac{\partial z}{\partial y}$.

Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду

Поверхневі інтеграли 1-го роду

Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція $f(x,y,z)$ визначена і обмежена на гладкій поверхні $S$. Хай $Z$ позначає деяке розбиття $S$ на скінченну кількість елементарних поверхонь $S_i$ (i = 1, 2 …. і) з площами $\mathrm{\Delta }{S}_i$, $\mathrm{\Delta }(Z)$ є найбільшим діаметром елементарних поверхонь $S_i$ і $M_i=(x_i,y_i,z_i)$ — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

$S(Z)=\sum _{i=1}^{N}f(x_i,y_i,z_i)\mathrm{\Delta }{S}_i$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю $Z$. Якщо існує число $I$ з такою властивістю: для кожного $ϵ>0$ знайдеться таке$\mathrm{\Delta }(ϵ)>0$, що для кожного розбиття $Z$ з $\mathrm{\Delta }(Z)<\mathrm{\Delta }$, незалежно від вибору точок $M_i$ $|S(Z)-I|<\mathrm{\Delta }$, то $I$ називається поверхневим інтегралом 1-го роду від $f(x,y,z)$ по поверхні $S$ і записується

$I=\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}s$.

Для окремого випадку підінтегрального виразу $f(x,y,z)\equiv 1$

число $I$ дає площу $S$ поверхні $S$.

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

$x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$,

причому $u$ та $v$ пробігають область $\mathrm{\Gamma }$ площини $u$, $v$

$I=\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}s=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$.

Якщо поверхня задана явно рівнянням $z=\varphi (x,y)$ причому $(x,y)$ пробігають область $S^{\prime }$, то

$I=\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}s=\underset{S^{\prime }}{\iint }f(x,y,\varphi (x,y))\sqrt{1+p^2+q^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Аналогічні формули вірні, якщо $S$ представлена рівняннями виду $x=\psi (y,z)$ чи $y=\chi (x,z)$.

Поверхневі інтеграли 2-го роду

Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні $S$; на кожній замкнутій кривій на $S$ визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні $S$, розташованої однозначно над площиною $x,y$ і заданою явно рівнянням $z=\varphi (x,y)$, визначена обмежена функцією $f(x,y,z)$. Нехай $Z$ є розбиття поверхні $S$ на скінченну кількість елементарних поверхонь $S_i$, $(i=1,2,....n)$, $\mathrm{\Delta }Z$ — найбільший діаметр елементарних поверхонь, $M_i=(x_i,y_i,z_i)$ — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні $S_i$. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні $S_i$ визначає напрям обходу в площині $x,y$, біля кордону проєкції $S{\text{'}}_i$. Площа $\mathrm{\Delta }S{\text{'}}_i$ цієї проєкції береться із знаком «+», якщо межа проєкції $S{\text{'}}_i$ проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

$S(Z)=\sum _{i=1}^{N}f(x_i,y_i,z_i)\mathrm{\Delta }S{\text{'}}_i$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю $Z$. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут $f(M_i)$ множиться не на площу $\mathrm{\Delta }S{\text{'}}_i$ (елементарній поверхні $S_i$ а на взяту із знаком площа $\mathrm{\Delta }S{\text{'}}_i$ проєкції $S{\text{'}}_i$ поверхні $S_i$ на площину $x,y$.

Якщо існує число $I$ з такою властивістю: для кожного $ϵ>0$ знайдеться таке $\mathrm{\Delta }(ϵ)>0$, що для кожного розбиття $Z$ з $\mathrm{\Delta }(Z)<\mathrm{\Delta }$, незалежно від вибору точок $M_i$, завжди |$|S(Z)-I|<ϵ$, то $I$ називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

$f(x,y,z)$ за вибраною стороною $S$ і пишуть

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Якщо $S$ не має взаємно однозначної проєкції на площину $x,y$, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проєкція, то поверхневий інтеграл по $S$ визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо $S$ має однозначну проєкцію на площину $y,z$ або $x,z$, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ та

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x$,

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проєкцій $S_i$ на площину $y,z$ або $x,z$.

Нарешті, для трьох функцій $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$, визначених на $S$, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:

$\underset{S}{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{S}{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\underset{S}{\iint }Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\underset{S}{\iint }R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)

1. Нехай поверхня $S$ має явне представлення $z=\varphi (x,y)$, причому $(x,y)$ змінюються в області $S^{\prime }$. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні $S$, для якої кут між нормаллю і віссю $z$ є гострим, обчислюється так:

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\underset{S^{\prime }}{\iint }f(x,y,\varphi (x,y)).$

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{S}{\iint }f(x,y,\varphi (x,y)).$

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z=-\underset{S^{\prime }}{\iint }f(\psi (y,z),y,z),$

де $S$ задана рівнянням $x=\psi (y,z)$, $S^{\prime }$ — проєкція $S$ на площину $y,z$, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю $x$ гострий кут. Так само

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x=-\underset{S^{\prime }}{\iint }f(x,\chi (z,x),y)\mathrm{d}z\mathrm{d}x,$

де $S$ задана рівнянням $y=\chi (z,x)$, $S^{\prime }$ проєкція $S$ на площину $x,z$, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня $S$ задана в параметричній формі: $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$, то

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm \underset{\mathrm{\Gamma }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))C\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\pm \underset{\mathrm{\Gamma }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))A\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\pm \underset{\mathrm{\Gamma }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))B\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

де

$A=\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}$

$B=\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}$

$C=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області $\mathrm{\Gamma }$ площини $u,v$ відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

$\underset{S}{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm \underset{\mathrm{\Gamma }}{\iint }(PA+QB+RC)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду

Якщо $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями $x,y$ і $z$, то

$\underset{S}{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm \underset{S}{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}S$

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

Рис. 3

Поверхневий інтеграл

$\underset{S}{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

має для різних незамкнутих поверхонь $S_1$ і $S_2$ з однією і тією ж границею $C$ у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

$P,Q,R,\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial z}$

неперервні в однозв'язній просторовій області $V$ (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні $S$ в $V$ обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$

Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтеграла

Об'єм тіла

Об'єм $V$ тіла ($V$), обмеженого кусково гладкими поверхнями $S$, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

$V=\underset{S}{\iint }zdxdy$

чи

$V=\underset{S}{\iint }xdydz$

чи

$V=\underset{S}{\iint }ydzdx$

або

$V=\frac{1}{3}\underset{S}{\iint }xdydz+ydzdx+zdxdy$

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні $S$.

Центр тяжіння та сила притягання

Якщо поверхня $S$ покрита масою з поверхневою густиною $\delta (x,y,z)$, то повна маса поверхні $S$ дорівнює

$M=\underset{S}{\iint }\delta (x,y,z)dS$

координати $(\xi ,\eta ,\zeta )$ центру тяжіння дорівнюють

$\xi =\frac{1}{M}\underset{S}{\iint }x\delta (x,y,z)dS$

$\eta =\frac{1}{M}\underset{S}{\iint }y\delta (x,y,z)dS$

$\zeta =\frac{1}{M}\underset{S}{\iint }z\delta (x,y,z)dS$

компоненти сили притягання $F$ цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку $M=(x_0,y_0,z_0)$ одиничної маси, дорівнюють

$F_x=\gamma \underset{S}{\iint }\frac{x-x_0}{r^3}dS$

$F_y=\gamma \underset{S}{\iint }\frac{y-y_0}{r^3}dS$

$F_z=\gamma \underset{S}{\iint }\frac{z-z_0}{r^3}dS$

$\gamma =const$

Див. також

• Інтегральне числення

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.