Формула Герона

Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника $S$ за даними довжинами його сторін $a$ , $b$ і $c$ . Шаблон:Теорема

Також, розписуючи вираз під коренем і використовуючи формули для квадрата двочлена і різниці квадратів, можна одержати еквівалентні варіанти формули:

S = \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c) (- a + b + c) (a - b + c) (a + b - c)}

S = \frac{1}{4} \sqrt{2 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) - (a^{4} + b^{4} + c^{4})}

S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} - 2 (a^{4} + b^{4} + c^{4})}

S = \frac{1}{4} \sqrt{4 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) - (a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}

S = \frac{1}{4} \sqrt{4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}} .

Доведення (тригонометричне)

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: $S = \frac{1}{2} a b \cdot \sin γ$ , де $γ$ — кут трикутника, що лежить навпроти сторони $c$ .

Згідно з теоремою косинусів $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos γ$ . Звідси $\cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ .

Тому $\sin^{2} γ = 1 - \cos^{2} γ = (1 - \cos γ) (1 + \cos γ) =$

= \frac{2 a b - a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 a b} \cdot \frac{2 a b + a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} = \frac{c^{2} - (a - b)^{2}}{2 a b} \cdot \frac{(a + b)^{2} - c^{2}}{2 a b} =

= \frac{1}{4 a^{2} b^{2}} (c - a + b) (c + a - b) (a + b - c) (a + b + c)

.

Оскільки справедливі рівності $a + b + c = 2 p$ , $a + b - c = 2 p - 2 c$ , $a + c - b = 2 p - 2 b$ , $c - a + b = 2 p - 2 a$ , отримуємо, що

\sin γ = \frac{2}{a b} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} .

Таким чином, $S = \frac{1}{2} a b \sin γ = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Доведення (геометричне)

Нехай дано трикутник $A B C$ , $w_{1}$ та $w_{2}$ — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони $B C$ ) коло відповідно, $I$ — центр вписаного кола $w_{1}$ (інцентр, точка перетину бісектрис), $I_{a}$ — центр зовнівписаного кола $w_{2}$ (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай $K$ — точка дотику вписаного кола до сторони $A B$ , а $T$ — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони $A B$ . Тоді $I K = r$ — радіус вписаного кола $w_{1}$ , $I_{a} T = r_{a}$ — радіус зовнівписаного кола $w_{2}$ , і нехай $p = \frac{a + b + c}{2}$ — півпериметр трикутника $A B C$ ..

З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що $A K = p - a$ , $K B = p - b$ , $B T = p - c$ , a $A T = p$ , причому $I K ⊥ A B$ та $I_{a} T ⊥ A B$ .

Звідси маємо, що трикутники $A I K$ та $A I_{a} T$ подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом $∠ I A K$ ). Тому $\frac{A K}{A T} = \frac{I K}{I_{a} T}$ , тобто $\frac{p - a}{p} = \frac{r}{r_{a}}$ . Звідси $r_{a} (p - a) = p r = S$ .

Знайдемо кут $∠ B I_{a} T$ . Оскільки $△ B I_{a} T$ — прямокутний, то $∠ B I_{a} T = 9 0^{\circ} - ∠ I_{a} B T$ . За побудовою $B I_{a}$ — бісектриса кута $∠ C B T = 18 0^{\circ} - ∠ B$ (як зовнішній кут), а тому $∠ I_{a} B T = \frac{∠ C B T}{2} = \frac{18 0^{\circ} - ∠ B}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{∠ B}{2}$ . Звідси $∠ B I_{a} T = \frac{∠ B}{2}$ .

Але також $∠ I B K = \frac{∠ B}{2}$ , оскільки $B I$ — бісектриса кута $∠ B$ . Отримали, що трикутники $B I_{a} T$ та $I B K$ подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому $\frac{I_{a} T}{B K} = \frac{B T}{I K}$ , тобто $\frac{r_{a}}{p - b} = \frac{p - c}{r}$ . Звідси $r_{a} r = (p - b) (p - c)$ .

З рівностей $r_{a} (p - a) = p r = S$ одержимо, що $S^{2} = p (p - a) r_{a} r$ . Замінивши $r_{a} r$ по вище доведеній формулі $r_{a} r = (p - b) (p - c)$ , одержимо остаточно $S^{2} = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , або, що те саме, $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Варіації й узагальнення

Формулу Герона можна записати за допомогою визначника у вигляді^[1]:
$- 16 S^{2} = | \begin{matrix} 0 & a^{2} & b^{2} & 1 \\ a^{2} & 0 & c^{2} & 1 \\ b^{2} & c^{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & b & c & 0 \\ b & a & 0 & c \\ c & 0 & a & b \\ 0 & c & b & a \end{matrix} |$

Перший визначник останньої формули є окремим випадком Шаблон:Iw для обчислення гіпероб'єму симплекса.

Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан $m_{a}$ , $m_{b}$ и $m_{c}$ і їх півсуму $σ = (m_{a} + m_{b} + m_{c}) / 2$ ^[2]:

S = \frac{4}{3} \sqrt{σ (σ - m_{a}) (σ - m_{b}) (σ - m_{c})}

;

через довжини висот

h_{a}

,

h_{b}

и

h_{c}

і півсуму їх обернених величин

H = (h_{a}^{- 1} + h_{b}^{- 1} + h_{c}^{- 1}) / 2

^[3]:

S^{- 1} = 4 \sqrt{H (H - h_{a}^{- 1}) (H - h_{b}^{- 1}) (H - h_{c}^{- 1})}

;

через кут трикутника

α

,

β

і

γ

, півсуму їх синусів

s = (\sin α + \sin β + \sin γ) / 2

і діаметр описаного кола

D = \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

^[4]:

S = D^{2} \sqrt{s (s - \sin α) (s - \sin β) (s - \sin γ)} .

Формула Герона — Тартальї

Для тетраедрів існує формула Герона — Тартальї, узагальнена також на випадок інших багатогранників (згинаний многогранник): якщо в тетраедра довжини ребер рівні $l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}, l_{5}, l_{6}$ , то для його об'єму $V$ істинний вираз:

\begin{matrix} 144 V^{2} = & l_{1}^{2} l_{5}^{2} (l_{2}^{2} + l_{3}^{2} + l_{4}^{2} + l_{6}^{2} - l_{1}^{2} - l_{5}^{2}) \\ + & l_{2}^{2} l_{6}^{2} (l_{1}^{2} + l_{3}^{2} + l_{4}^{2} + l_{5}^{2} - l_{2}^{2} - l_{6}^{2}) \\ + & l_{3}^{2} l_{4}^{2} (l_{1}^{2} + l_{2}^{2} + l_{5}^{2} + l_{6}^{2} - l_{3}^{2} - l_{4}^{2}) \\ - & l_{1}^{2} l_{2}^{2} l_{4}^{2} - l_{2}^{2} l_{3}^{2} l_{5}^{2} - l_{1}^{2} l_{3}^{2} l_{6}^{2} - l_{4}^{2} l_{5}^{2} l_{6}^{2} \end{matrix}

.

Формулу Герона — Тартальї можна виписати для тетраедра в явному вигляді: якщо $U$ , $V$ , $W$ , $u$ , $v$ , $w$ — довжини ребер тетраедра (перші три з них утворюють трикутник; і, наприклад, ребро $u$ протлежне ребру $U$ і так далі), то справедливі формули^[5]^[6]:

V = \frac{\sqrt{(- a + b + c + d) (a - b + c + d) (a + b - c + d) (a + b + c - d)}}{192 u v w}

де:

\begin{matrix} a & = \sqrt{x Y Z} \\ b & = \sqrt{y Z X} \\ c & = \sqrt{z X Y} \\ d & = \sqrt{x y z} \\ X & = (w - U + v) (U + v + w) \\ x & = (U - v + w) (v - w + U) \\ Y & = (u - V + w) (V + w + u) \\ y & = (V - w + u) (w - u + V) \\ Z & = (v - W + u) (W + u + v) \\ z & = (W - u + v) (u - v + W) \end{matrix}

.

Теорема Люїльє

За теоремою Люїльє площа сферичного трикутника виражається через його сторони $θ_{a} = \frac{a}{R}, θ_{b} = \frac{b}{R}, θ_{c} = \frac{c}{R}$ как:

S = 4 R^{2} arctg \sqrt{tg (\frac{θ_{s}}{2}) tg (\frac{θ_{s} - θ_{a}}{2}) tg (\frac{θ_{s} - θ_{b}}{2}) tg (\frac{θ_{s} - θ_{c}}{2})}

,

де

θ_{s} = \frac{θ_{a} + θ_{b} + θ_{c}}{2}

— півпериметр.

Формула Брамагупти

Шаблон:Main Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює

S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d)} .

У цьому випадку трикутник виявляється граничним випадком уписаного чотирикутника при прямуванні довжини однієї зі сторін до нуля. Та ж формула Брахмагупти через визначник^[7]:

S = \frac{1}{4} \sqrt{- | \begin{matrix} a & b & c & - d \\ b & a & - d & c \\ c & - d & a & b \\ - d & c & b & a \end{matrix} |}

Примітки

Шаблон:Примітки

Посилання

Шаблон:MathWorld
Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0058-2

Шаблон:Трикутник Шаблон:Сферична тригонометрія Шаблон:Geometry-stub

↑ Weisstein, Eric W. Heron's Formula. Шаблон:Webarchive From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
↑ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
↑ W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1] Шаблон:Webarchive, pp. 16-17.
↑ Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132
↑ Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39

[1] Weisstein, Eric W. Heron's Formula. Шаблон:Webarchive From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

[2] Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.

[3] Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.

[4] Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.

[5] W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1] Шаблон:Webarchive, pp. 16-17.

[6] Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132

[7] Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Формула Герона

Зміст

Доведення (тригонометричне)

Доведення (геометричне)

Варіації й узагальнення

Формула Герона — Тартальї

Теорема Люїльє

Формула Брамагупти

Примітки

Посилання

Навігаційне меню

Формула Герона

Доведення (тригонометричне)

Доведення (геометричне)

Варіації й узагальнення

Формула Герона — Тартальї

Теорема Люїльє

Формула Брамагупти

Примітки

Посилання

Навігаційне меню

Пошук